График функции y = sqrt((x-1)/(x+1))

Вы ввели

           _______
          / x - 1 
f(x) =   /  ----- 
       \/   x + 1 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt((x - 1)/(x + 1)).
$$\sqrt{- 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = i$$
Точка:

(0, i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{4 x - 4} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{4 x - 4} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) + \frac{2}{x - 1}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{4 x - 4} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) + \frac{2}{x - 1}\right)\right) = \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt((x - 1)/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной