График функции y = log(cos(exp(x)))

Вы ввели

          /   / x\\
f(x) = log\cos\e //

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \log{\left (2 \pi \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -32$$
$$x_{2} = -100$$
$$x_{3} = -30.3209652183$$
$$x_{4} = -46$$
$$x_{5} = -50$$
$$x_{6} = -20.3661325904$$
$$x_{7} = -31.0590935348$$
$$x_{8} = -31.71875$$
$$x_{9} = -48$$
$$x_{10} = -82$$
$$x_{11} = -72$$
$$x_{12} = -60$$
$$x_{13} = -64$$
$$x_{14} = -40$$
$$x_{15} = -92$$
$$x_{16} = -90$$
$$x_{17} = -56$$
$$x_{18} = -96$$
$$x_{19} = 30.25$$
$$x_{20} = -18.3661325711$$
$$x_{21} = -58$$
$$x_{22} = -86$$
$$x_{23} = -34$$
$$x_{24} = -22.3661325968$$
$$x_{25} = -62$$
$$x_{26} = -24.3661326314$$
$$x_{27} = -66$$
$$x_{28} = -88$$
$$x_{29} = -52$$
$$x_{30} = -38$$
$$x_{31} = -42$$
$$x_{32} = -44$$
$$x_{33} = -68$$
$$x_{34} = -28.3669473482$$
$$x_{35} = -31.2830260324$$
$$x_{36} = -84$$
$$x_{37} = -76$$
$$x_{38} = -26.3661294243$$
$$x_{39} = -54$$
$$x_{40} = -16.3661315142$$
$$x_{41} = -36$$
$$x_{42} = -30.8937436101$$
$$x_{43} = -94$$
$$x_{44} = -70$$
$$x_{45} = -98$$
$$x_{46} = -74$$
$$x_{47} = -14.3660738018$$
$$x_{48} = -80$$
$$x_{49} = -31.5117797638$$
$$x_{50} = -78$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(exp(x))).
$$\log{\left (\cos{\left (e^{0} \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \log{\left (\cos{\left (1 \right )} \right )}$$
Точка:

(0, log(cos(1)))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{e^{x} \sin{\left (e^{x} \right )}}{\cos{\left (e^{x} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \log{\left (\pi \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

(log(pi), pi*I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \left(\frac{e^{x} \sin^{2}{\left (e^{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (e^{x} \right )}} + e^{x} + \frac{\sin{\left (e^{x} \right )}}{\cos{\left (e^{x} \right )}}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2.06102061772$$
$$x_{2} = -66.3661325909$$
$$x_{3} = -48.3661325909$$
$$x_{4} = -72.3661325909$$
$$x_{5} = -38.3661325909$$
$$x_{6} = -26.3661325909$$
$$x_{7} = -60.3661325909$$
$$x_{8} = -22.3661325909$$
$$x_{9} = -16.3661379742$$
$$x_{10} = -106.366132591$$
$$x_{11} = -94.3661325909$$
$$x_{12} = -44.3661325909$$
$$x_{13} = -64.3661325909$$
$$x_{14} = -54.3661325909$$
$$x_{15} = -108.366132591$$
$$x_{16} = -82.3661325909$$
$$x_{17} = 4.11514435142$$
$$x_{18} = -76.3661325909$$
$$x_{19} = -52.3661325909$$
$$x_{20} = -28.3661325909$$
$$x_{21} = -40.3661325909$$
$$x_{22} = -20.3661325927$$
$$x_{23} = -104.366132591$$
$$x_{24} = -110.366132591$$
$$x_{25} = -68.3661325909$$
$$x_{26} = -100.366132591$$
$$x_{27} = 3.94809026676$$
$$x_{28} = -92.3661325909$$
$$x_{29} = -36.3661325909$$
$$x_{30} = -88.3661325909$$
$$x_{31} = -56.3661325909$$
$$x_{32} = -86.3661325909$$
$$x_{33} = -42.3661325909$$
$$x_{34} = -80.3661325909$$
$$x_{35} = -32.3661325909$$
$$x_{36} = -70.3661325909$$
$$x_{37} = -30.3661325909$$
$$x_{38} = -58.3661325909$$
$$x_{39} = -84.3661325909$$
$$x_{40} = -34.3661325909$$
$$x_{41} = 0.451582705289$$
$$x_{42} = -90.3661325909$$
$$x_{43} = -98.3661325909$$
$$x_{44} = -24.3661325909$$
$$x_{45} = -50.3661325909$$
$$x_{46} = -46.3661325909$$
$$x_{47} = -78.3661325909$$
$$x_{48} = -62.3661325909$$
$$x_{49} = -18.3661326895$$
$$x_{50} = -74.3661325909$$
$$x_{51} = -102.366132591$$
$$x_{52} = -96.3661325909$$
$$x_{53} = 8.08252928618$$
$$x_{54} = -14.3664265561$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2.06102061772, 3.94809026676]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0.451582705289]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(exp(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} = \log{\left (\cos{\left (e^{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} = - \log{\left (\cos{\left (e^{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной