График y = f(x) = (log(x)+1)/x ((логарифм от (х) плюс 1) делить на х) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ответ!]

График функции y = (log(x)+1)/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       log(x) + 1
f(x) = ----------
           x     
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = e^{-1}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (log(x) + 1)/x.
$$\frac{\log{\left(0 \right)} + 1}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 1}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (log(x) + 1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (log(x)+1)/x /media/krcore-image-pods/c/1b/07027de11dfd245746130d8560324.png