График функции y = -1/2*cos(x+pi/6)+4

Вы ввели

            /    pi\    
         cos|x + --|    
            \    6 /    
f(x) = - ----------- + 4
              2         

$$f{\left(x \right)} = 4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -cos(x + pi/6)/2 + 4.
$$4 - \frac{\cos{\left(0 + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4 - \frac{\sqrt{3}}{4}$$
Точка:

(0, 4 - sqrt(3)/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

              /pi   pi\ 
           cos|-- - --| 
 -pi          \6    6 / 
(----, 4 - ------------)
  6             2       

 5*pi      
(----, 9/2)
  6        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -cos(x + pi/6)/2 + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 4 - \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}$$
- Нет
$$4 - \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График