График функции y = -sin(x-pi/4)+2

Вы ввели

            /    pi\    
f(x) = - sin|x - --| + 2
            \    4 /    

$$f{\left(x \right)} = 2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -sin(x - pi/4) + 2.
$$2 - \sin{\left(- \frac{\pi}{4} + 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
Точка:

(0, 2 + sqrt(2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi     
(----, 3)
  4      

 3*pi    
(----, 1)
  4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 1, 3\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(x - pi/4) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 2$$
- Нет
$$2 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График