График функции y = (((|-x^2+4|)))

Вы ввели

       |   2    |
f(x) = |- x  + 4|

$$f{\left(x \right)} = \left|{4 - x^{2}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{4 - x^{2}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |-x^2 + 4|.
$$\left|{4 - 0^{2}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 x \operatorname{sign}{\left(4 - x^{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

(2, 0)

(-2, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{4 - x^{2}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{4 - x^{2}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |-x^2 + 4|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{4 - x^{2}}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{4 - x^{2}}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{4 - x^{2}}\right| = \left|{4 - x^{2}}\right|$$
- Да
$$\left|{4 - x^{2}}\right| = - \left|{4 - x^{2}}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График