График функции y = 1/3*(x^3+14*x^2+49*x-36)

Вы ввели

        3       2            
       x  + 14*x  + 49*x - 36
f(x) = ----------------------
                 3           

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{14}{3} + \frac{49}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1758}}{3} + \frac{829}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1758}}{3} + \frac{829}{27}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.620001066457848$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 + 14*x^2 + 49*x - 1*36)/3.
$$\frac{\left(-1\right) 36 + 0^{3} + 14 \cdot 0^{2} + 49 \cdot 0}{3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -12$$
Точка:

(0, -12)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + \frac{28 x}{3} + \frac{49}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = - \frac{7}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-7, -12)

       -2344  
(-7/3, ------)
         81   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{7}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -7$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -7\right] \cup \left[- \frac{7}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-7, - \frac{7}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x + \frac{28}{3} \cdot 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{14}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{14}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{14}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + 14*x^2 + 49*x - 1*36)/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{14 x^{2}}{3} - \frac{49 x}{3} - 12$$
- Нет
$$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 49 x - 36}{3} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{14 x^{2}}{3} + \frac{49 x}{3} + 12$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График