График функции y = sin(|x|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = sin(|x|)
f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}
График функции
0-80-60-40-202040602-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(x)=0\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=84.8230016469244x_{1} = -84.8230016469244
x2=12.5663706143592x_{2} = -12.5663706143592
x3=75.398223686155x_{3} = 75.398223686155
x4=50.2654824574367x_{4} = -50.2654824574367
x5=97.3893722612836x_{5} = -97.3893722612836
x6=3.14159265358979x_{6} = 3.14159265358979
x7=15.707963267949x_{7} = 15.707963267949
x8=59.6902604182061x_{8} = 59.6902604182061
x9=40.8407044966673x_{9} = 40.8407044966673
x10=62.8318530717959x_{10} = -62.8318530717959
x11=279.601746169492x_{11} = -279.601746169492
x12=21.9911485751286x_{12} = 21.9911485751286
x13=53.4070751110265x_{13} = -53.4070751110265
x14=72.2566310325652x_{14} = -72.2566310325652
x15=9.42477796076938x_{15} = 9.42477796076938
x16=87.9645943005142x_{16} = 87.9645943005142
x17=91.106186954104x_{17} = -91.106186954104
x18=100.530964914873x_{18} = -100.530964914873
x19=34.5575191894877x_{19} = -34.5575191894877
x20=47.1238898038469x_{20} = -47.1238898038469
x21=87.9645943005142x_{21} = -87.9645943005142
x22=0x_{22} = 0
x23=21.9911485751286x_{23} = -21.9911485751286
x24=37.6991118430775x_{24} = 37.6991118430775
x25=28.2743338823081x_{25} = -28.2743338823081
x26=232.477856365645x_{26} = -232.477856365645
x27=6.28318530717959x_{27} = -6.28318530717959
x28=43.9822971502571x_{28} = 43.9822971502571
x29=91.106186954104x_{29} = 91.106186954104
x30=2642.07942166902x_{30} = -2642.07942166902
x31=40.8407044966673x_{31} = -40.8407044966673
x32=94.2477796076938x_{32} = 94.2477796076938
x33=31.4159265358979x_{33} = -31.4159265358979
x34=69.1150383789755x_{34} = -69.1150383789755
x35=47.1238898038469x_{35} = 47.1238898038469
x36=62.8318530717959x_{36} = 62.8318530717959
x37=56.5486677646163x_{37} = -56.5486677646163
x38=18.8495559215388x_{38} = 18.8495559215388
x39=37.6991118430775x_{39} = -37.6991118430775
x40=56.5486677646163x_{40} = 56.5486677646163
x41=65.9734457253857x_{41} = 65.9734457253857
x42=59.6902604182061x_{42} = -59.6902604182061
x43=75.398223686155x_{43} = -75.398223686155
x44=3.14159265358979x_{44} = -3.14159265358979
x45=81.6814089933346x_{45} = 81.6814089933346
x46=18.8495559215388x_{46} = -18.8495559215388
x47=31.4159265358979x_{47} = 31.4159265358979
x48=9.42477796076938x_{48} = -9.42477796076938
x49=15.707963267949x_{49} = -15.707963267949
x50=43.9822971502571x_{50} = -43.9822971502571
x51=113.097335529233x_{51} = -113.097335529233
x52=78.5398163397448x_{52} = 78.5398163397448
x53=78.5398163397448x_{53} = -78.5398163397448
x54=81.6814089933346x_{54} = -81.6814089933346
x55=84.8230016469244x_{55} = 84.8230016469244
x56=28.2743338823081x_{56} = 28.2743338823081
x57=25.1327412287183x_{57} = -25.1327412287183
x58=65.9734457253857x_{58} = -65.9734457253857
x59=97.3893722612836x_{59} = 97.3893722612836
x60=69.1150383789755x_{60} = 69.1150383789755
x61=50.2654824574367x_{61} = 50.2654824574367
x62=100.530964914873x_{62} = 100.530964914873
x63=34.5575191894877x_{63} = 34.5575191894877
x64=6.28318530717959x_{64} = 6.28318530717959
x65=25.1327412287183x_{65} = 25.1327412287183
x66=53.4070751110265x_{66} = 53.4070751110265
x67=94.2477796076938x_{67} = -94.2477796076938
x68=12.5663706143592x_{68} = 12.5663706143592
x69=72.2566310325652x_{69} = 72.2566310325652
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(|x|).
sin(0)\sin{\left(\left|{0}\right| \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
cos(x)sign(x)=0\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=58.1194640914112x_{1} = -58.1194640914112
x2=36.1283155162826x_{2} = 36.1283155162826
x3=64.4026493985908x_{3} = -64.4026493985908
x4=89.5353906273091x_{4} = -89.5353906273091
x5=76.9690200129499x_{5} = -76.9690200129499
x6=51.8362787842316x_{6} = 51.8362787842316
x7=67.5442420521806x_{7} = 67.5442420521806
x8=10.9955742875643x_{8} = -10.9955742875643
x9=86.3937979737193x_{9} = -86.3937979737193
x10=32.9867228626928x_{10} = 32.9867228626928
x11=89.5353906273091x_{11} = 89.5353906273091
x12=64.4026493985908x_{12} = 64.4026493985908
x13=17.2787595947439x_{13} = 17.2787595947439
x14=70.6858347057703x_{14} = 70.6858347057703
x15=4.71238898038469x_{15} = -4.71238898038469
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=76.9690200129499x_{17} = 76.9690200129499
x18=0x_{18} = 0
x19=86.3937979737193x_{19} = 86.3937979737193
x20=61.261056745001x_{20} = -61.261056745001
x21=48.6946861306418x_{21} = 48.6946861306418
x22=73.8274273593601x_{22} = 73.8274273593601
x23=29.845130209103x_{23} = 29.845130209103
x24=70.6858347057703x_{24} = -70.6858347057703
x25=168.075206967054x_{25} = -168.075206967054
x26=7.85398163397448x_{26} = -7.85398163397448
x27=14.1371669411541x_{27} = -14.1371669411541
x28=73.8274273593601x_{28} = -73.8274273593601
x29=32.9867228626928x_{29} = -32.9867228626928
x30=1.5707963267949x_{30} = 1.5707963267949
x31=98.9601685880785x_{31} = -98.9601685880785
x32=42.4115008234622x_{32} = -42.4115008234622
x33=17.2787595947439x_{33} = -17.2787595947439
x34=4.71238898038469x_{34} = 4.71238898038469
x35=26.7035375555132x_{35} = 26.7035375555132
x36=83.2522053201295x_{36} = 83.2522053201295
x37=92.6769832808989x_{37} = 92.6769832808989
x38=19812.454069864x_{38} = -19812.454069864
x39=51.8362787842316x_{39} = -51.8362787842316
x40=54.9778714378214x_{40} = 54.9778714378214
x41=20.4203522483337x_{41} = -20.4203522483337
x42=61.261056745001x_{42} = 61.261056745001
x43=80.1106126665397x_{43} = 80.1106126665397
x44=92.6769832808989x_{44} = -92.6769832808989
x45=83.2522053201295x_{45} = -83.2522053201295
x46=98.9601685880785x_{46} = 98.9601685880785
x47=7.85398163397448x_{47} = 7.85398163397448
x48=42.4115008234622x_{48} = 42.4115008234622
x49=95.8185759344887x_{49} = -95.8185759344887
x50=1.5707963267949x_{50} = -1.5707963267949
x51=29.845130209103x_{51} = -29.845130209103
x52=39.2699081698724x_{52} = -39.2699081698724
x53=23.5619449019235x_{53} = -23.5619449019235
x54=20.4203522483337x_{54} = 20.4203522483337
x55=54.9778714378214x_{55} = -54.9778714378214
x56=58.1194640914112x_{56} = 58.1194640914112
x57=48.6946861306418x_{57} = -48.6946861306418
x58=36.1283155162826x_{58} = -36.1283155162826
x59=95.8185759344887x_{59} = 95.8185759344887
x60=10.9955742875643x_{60} = 10.9955742875643
x61=39.2699081698724x_{61} = 39.2699081698724
x62=80.1106126665397x_{62} = -80.1106126665397
x63=45.553093477052x_{63} = 45.553093477052
x64=26.7035375555132x_{64} = -26.7035375555132
x65=45.553093477052x_{65} = -45.553093477052
x66=14.1371669411541x_{66} = 14.1371669411541
x67=67.5442420521806x_{67} = -67.5442420521806
x68=271.747764535517x_{68} = -271.747764535517
Зн. экстремумы в точках:
(-58.1194640914112, 1)

(36.1283155162826, -1)

(-64.4026493985908, 1)

(-89.5353906273091, 1)

(-76.9690200129499, 1)

(51.8362787842316, 1)

(67.5442420521806, -1)

(-10.9955742875643, -1)

(-86.3937979737193, -1)

(32.9867228626928, 1)

(89.5353906273091, 1)

(64.4026493985908, 1)

(17.2787595947439, -1)

(70.6858347057703, 1)

(-4.71238898038469, -1)

(23.5619449019235, -1)

(76.9690200129499, 1)

(0, 0)

(86.3937979737193, -1)

(-61.261056745001, -1)

(48.6946861306418, -1)

(73.8274273593601, -1)

(29.845130209103, -1)

(-70.6858347057703, 1)

(-168.075206967054, -1)

(-7.85398163397448, 1)

(-14.1371669411541, 1)

(-73.8274273593601, -1)

(-32.9867228626928, 1)

(1.5707963267949, 1)

(-98.9601685880785, -1)

(-42.4115008234622, -1)

(-17.2787595947439, -1)

(4.71238898038469, -1)

(26.7035375555132, 1)

(83.2522053201295, 1)

(92.6769832808989, -1)

(-19812.454069864, 1)

(-51.8362787842316, 1)

(54.9778714378214, -1)

(-20.4203522483337, 1)

(61.261056745001, -1)

(80.1106126665397, -1)

(-92.6769832808989, -1)

(-83.2522053201295, 1)

(98.9601685880785, -1)

(7.85398163397448, 1)

(42.4115008234622, -1)

(-95.8185759344887, 1)

(-1.5707963267949, 1)

(-29.845130209103, -1)

(-39.2699081698724, 1)

(-23.5619449019235, -1)

(20.4203522483337, 1)

(-54.9778714378214, -1)

(58.1194640914112, 1)

(-48.6946861306418, -1)

(-36.1283155162826, -1)

(95.8185759344887, 1)

(10.9955742875643, -1)

(39.2699081698724, 1)

(-80.1106126665397, -1)

(45.553093477052, 1)

(-26.7035375555132, 1)

(-45.553093477052, 1)

(14.1371669411541, 1)

(-67.5442420521806, -1)

(-271.747764535517, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=36.1283155162826x_{1} = 36.1283155162826
x2=67.5442420521806x_{2} = 67.5442420521806
x3=10.9955742875643x_{3} = -10.9955742875643
x4=86.3937979737193x_{4} = -86.3937979737193
x5=17.2787595947439x_{5} = 17.2787595947439
x6=4.71238898038469x_{6} = -4.71238898038469
x7=23.5619449019235x_{7} = 23.5619449019235
x8=0x_{8} = 0
x9=86.3937979737193x_{9} = 86.3937979737193
x10=61.261056745001x_{10} = -61.261056745001
x11=48.6946861306418x_{11} = 48.6946861306418
x12=73.8274273593601x_{12} = 73.8274273593601
x13=29.845130209103x_{13} = 29.845130209103
x14=168.075206967054x_{14} = -168.075206967054
x15=73.8274273593601x_{15} = -73.8274273593601
x16=98.9601685880785x_{16} = -98.9601685880785
x17=42.4115008234622x_{17} = -42.4115008234622
x18=17.2787595947439x_{18} = -17.2787595947439
x19=4.71238898038469x_{19} = 4.71238898038469
x20=92.6769832808989x_{20} = 92.6769832808989
x21=54.9778714378214x_{21} = 54.9778714378214
x22=61.261056745001x_{22} = 61.261056745001
x23=80.1106126665397x_{23} = 80.1106126665397
x24=92.6769832808989x_{24} = -92.6769832808989
x25=98.9601685880785x_{25} = 98.9601685880785
x26=42.4115008234622x_{26} = 42.4115008234622
x27=29.845130209103x_{27} = -29.845130209103
x28=23.5619449019235x_{28} = -23.5619449019235
x29=54.9778714378214x_{29} = -54.9778714378214
x30=48.6946861306418x_{30} = -48.6946861306418
x31=36.1283155162826x_{31} = -36.1283155162826
x32=10.9955742875643x_{32} = 10.9955742875643
x33=80.1106126665397x_{33} = -80.1106126665397
x34=67.5442420521806x_{34} = -67.5442420521806
Максимумы функции в точках:
x34=58.1194640914112x_{34} = -58.1194640914112
x34=64.4026493985908x_{34} = -64.4026493985908
x34=89.5353906273091x_{34} = -89.5353906273091
x34=76.9690200129499x_{34} = -76.9690200129499
x34=51.8362787842316x_{34} = 51.8362787842316
x34=32.9867228626928x_{34} = 32.9867228626928
x34=89.5353906273091x_{34} = 89.5353906273091
x34=64.4026493985908x_{34} = 64.4026493985908
x34=70.6858347057703x_{34} = 70.6858347057703
x34=76.9690200129499x_{34} = 76.9690200129499
x34=70.6858347057703x_{34} = -70.6858347057703
x34=7.85398163397448x_{34} = -7.85398163397448
x34=14.1371669411541x_{34} = -14.1371669411541
x34=32.9867228626928x_{34} = -32.9867228626928
x34=1.5707963267949x_{34} = 1.5707963267949
x34=26.7035375555132x_{34} = 26.7035375555132
x34=83.2522053201295x_{34} = 83.2522053201295
x34=19812.454069864x_{34} = -19812.454069864
x34=51.8362787842316x_{34} = -51.8362787842316
x34=20.4203522483337x_{34} = -20.4203522483337
x34=83.2522053201295x_{34} = -83.2522053201295
x34=7.85398163397448x_{34} = 7.85398163397448
x34=95.8185759344887x_{34} = -95.8185759344887
x34=1.5707963267949x_{34} = -1.5707963267949
x34=39.2699081698724x_{34} = -39.2699081698724
x34=20.4203522483337x_{34} = 20.4203522483337
x34=58.1194640914112x_{34} = 58.1194640914112
x34=95.8185759344887x_{34} = 95.8185759344887
x34=39.2699081698724x_{34} = 39.2699081698724
x34=45.553093477052x_{34} = 45.553093477052
x34=26.7035375555132x_{34} = -26.7035375555132
x34=45.553093477052x_{34} = -45.553093477052
x34=14.1371669411541x_{34} = 14.1371669411541
x34=271.747764535517x_{34} = -271.747764535517
Убывает на промежутках
[98.9601685880785,)\left[98.9601685880785, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,168.075206967054]\left(-\infty, -168.075206967054\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
sin(x)sign2(x)+2cos(x)δ(x)=0- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π,)\left[\pi, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,π]\left(-\infty, \pi\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin(x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxsin(x)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(x)=sin(x)\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Да
sin(x)=sin(x)\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = sin(|x|) /media/krcore-image-pods/hash/xy/2/0f/493cd7a67f3935da4acc52529e808.png