Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(∣x∣)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=0
x2=π
Численное решение
x1=−84.8230016469244
x2=−12.5663706143592
x3=75.398223686155
x4=−50.2654824574367
x5=−97.3893722612836
x6=3.14159265358979
x7=15.707963267949
x8=59.6902604182061
x9=40.8407044966673
x10=−62.8318530717959
x11=−279.601746169492
x12=21.9911485751286
x13=−53.4070751110265
x14=−72.2566310325652
x15=9.42477796076938
x16=87.9645943005142
x17=−91.106186954104
x18=−100.530964914873
x19=−34.5575191894877
x20=−47.1238898038469
x21=−87.9645943005142
x22=0
x23=−21.9911485751286
x24=37.6991118430775
x25=−28.2743338823081
x26=−232.477856365645
x27=−6.28318530717959
x28=43.9822971502571
x29=91.106186954104
x30=−2642.07942166902
x31=−40.8407044966673
x32=94.2477796076938
x33=−31.4159265358979
x34=−69.1150383789755
x35=47.1238898038469
x36=62.8318530717959
x37=−56.5486677646163
x38=18.8495559215388
x39=−37.6991118430775
x40=56.5486677646163
x41=65.9734457253857
x42=−59.6902604182061
x43=−75.398223686155
x44=−3.14159265358979
x45=81.6814089933346
x46=−18.8495559215388
x47=31.4159265358979
x48=−9.42477796076938
x49=−15.707963267949
x50=−43.9822971502571
x51=−113.097335529233
x52=78.5398163397448
x53=−78.5398163397448
x54=−81.6814089933346
x55=84.8230016469244
x56=28.2743338823081
x57=−25.1327412287183
x58=−65.9734457253857
x59=97.3893722612836
x60=69.1150383789755
x61=50.2654824574367
x62=100.530964914873
x63=34.5575191894877
x64=6.28318530717959
x65=25.1327412287183
x66=53.4070751110265
x67=−94.2477796076938
x68=12.5663706143592
x69=72.2566310325652
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(|x|).
sin(∣0∣)
Результат:
f(0)=0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
cos(∣x∣)sign(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−58.1194640914112
x2=36.1283155162826
x3=−64.4026493985908
x4=−89.5353906273091
x5=−76.9690200129499
x6=51.8362787842316
x7=67.5442420521806
x8=−10.9955742875643
x9=−86.3937979737193
x10=32.9867228626928
x11=89.5353906273091
x12=64.4026493985908
x13=17.2787595947439
x14=70.6858347057703
x15=−4.71238898038469
x16=23.5619449019235
x17=76.9690200129499
x18=0
x19=86.3937979737193
x20=−61.261056745001
x21=48.6946861306418
x22=73.8274273593601
x23=29.845130209103
x24=−70.6858347057703
x25=−168.075206967054
x26=−7.85398163397448
x27=−14.1371669411541
x28=−73.8274273593601
x29=−32.9867228626928
x30=1.5707963267949
x31=−98.9601685880785
x32=−42.4115008234622
x33=−17.2787595947439
x34=4.71238898038469
x35=26.7035375555132
x36=83.2522053201295
x37=92.6769832808989
x38=−19812.454069864
x39=−51.8362787842316
x40=54.9778714378214
x41=−20.4203522483337
x42=61.261056745001
x43=80.1106126665397
x44=−92.6769832808989
x45=−83.2522053201295
x46=98.9601685880785
x47=7.85398163397448
x48=42.4115008234622
x49=−95.8185759344887
x50=−1.5707963267949
x51=−29.845130209103
x52=−39.2699081698724
x53=−23.5619449019235
x54=20.4203522483337
x55=−54.9778714378214
x56=58.1194640914112
x57=−48.6946861306418
x58=−36.1283155162826
x59=95.8185759344887
x60=10.9955742875643
x61=39.2699081698724
x62=−80.1106126665397
x63=45.553093477052
x64=−26.7035375555132
x65=−45.553093477052
x66=14.1371669411541
x67=−67.5442420521806
x68=−271.747764535517
Зн. экстремумы в точках:
(-58.1194640914112, 1)
(36.1283155162826, -1)
(-64.4026493985908, 1)
(-89.5353906273091, 1)
(-76.9690200129499, 1)
(51.8362787842316, 1)
(67.5442420521806, -1)
(-10.9955742875643, -1)
(-86.3937979737193, -1)
(32.9867228626928, 1)
(89.5353906273091, 1)
(64.4026493985908, 1)
(17.2787595947439, -1)
(70.6858347057703, 1)
(-4.71238898038469, -1)
(23.5619449019235, -1)
(76.9690200129499, 1)
(0, 0)
(86.3937979737193, -1)
(-61.261056745001, -1)
(48.6946861306418, -1)
(73.8274273593601, -1)
(29.845130209103, -1)
(-70.6858347057703, 1)
(-168.075206967054, -1)
(-7.85398163397448, 1)
(-14.1371669411541, 1)
(-73.8274273593601, -1)
(-32.9867228626928, 1)
(1.5707963267949, 1)
(-98.9601685880785, -1)
(-42.4115008234622, -1)
(-17.2787595947439, -1)
(4.71238898038469, -1)
(26.7035375555132, 1)
(83.2522053201295, 1)
(92.6769832808989, -1)
(-19812.454069864, 1)
(-51.8362787842316, 1)
(54.9778714378214, -1)
(-20.4203522483337, 1)
(61.261056745001, -1)
(80.1106126665397, -1)
(-92.6769832808989, -1)
(-83.2522053201295, 1)
(98.9601685880785, -1)
(7.85398163397448, 1)
(42.4115008234622, -1)
(-95.8185759344887, 1)
(-1.5707963267949, 1)
(-29.845130209103, -1)
(-39.2699081698724, 1)
(-23.5619449019235, -1)
(20.4203522483337, 1)
(-54.9778714378214, -1)
(58.1194640914112, 1)
(-48.6946861306418, -1)
(-36.1283155162826, -1)
(95.8185759344887, 1)
(10.9955742875643, -1)
(39.2699081698724, 1)
(-80.1106126665397, -1)
(45.553093477052, 1)
(-26.7035375555132, 1)
(-45.553093477052, 1)
(14.1371669411541, 1)
(-67.5442420521806, -1)
(-271.747764535517, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=36.1283155162826
x2=67.5442420521806
x3=−10.9955742875643
x4=−86.3937979737193
x5=17.2787595947439
x6=−4.71238898038469
x7=23.5619449019235
x8=0
x9=86.3937979737193
x10=−61.261056745001
x11=48.6946861306418
x12=73.8274273593601
x13=29.845130209103
x14=−168.075206967054
x15=−73.8274273593601
x16=−98.9601685880785
x17=−42.4115008234622
x18=−17.2787595947439
x19=4.71238898038469
x20=92.6769832808989
x21=54.9778714378214
x22=61.261056745001
x23=80.1106126665397
x24=−92.6769832808989
x25=98.9601685880785
x26=42.4115008234622
x27=−29.845130209103
x28=−23.5619449019235
x29=−54.9778714378214
x30=−48.6946861306418
x31=−36.1283155162826
x32=10.9955742875643
x33=−80.1106126665397
x34=−67.5442420521806
Максимумы функции в точках:
x34=−58.1194640914112
x34=−64.4026493985908
x34=−89.5353906273091
x34=−76.9690200129499
x34=51.8362787842316
x34=32.9867228626928
x34=89.5353906273091
x34=64.4026493985908
x34=70.6858347057703
x34=76.9690200129499
x34=−70.6858347057703
x34=−7.85398163397448
x34=−14.1371669411541
x34=−32.9867228626928
x34=1.5707963267949
x34=26.7035375555132
x34=83.2522053201295
x34=−19812.454069864
x34=−51.8362787842316
x34=−20.4203522483337
x34=−83.2522053201295
x34=7.85398163397448
x34=−95.8185759344887
x34=−1.5707963267949
x34=−39.2699081698724
x34=20.4203522483337
x34=58.1194640914112
x34=95.8185759344887
x34=39.2699081698724
x34=45.553093477052
x34=−26.7035375555132
x34=−45.553093477052
x34=14.1371669411541
x34=−271.747764535517
Убывает на промежутках
[98.9601685880785,∞)
Возрастает на промежутках
(−∞,−168.075206967054]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
−sin(∣x∣)sign2(x)+2cos(∣x∣)δ(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π,∞)
Выпуклая на промежутках
(−∞,π]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞limsin(∣x∣)=⟨−1,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩
x→∞limsin(∣x∣)=⟨−1,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xsin(∣x∣))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(xsin(∣x∣))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(∣x∣)=sin(∣x∣)
- Да
sin(∣x∣)=−sin(∣x∣)
- Нет
значит, функция
является
чётной