График функции y = sin(x)*sin(3*x)

Вы ввели

f(x) = sin(x)*sin(3*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -92.1533845053006$$
$$x_{2} = -2.0943951023932$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -31.4159266113445$$
$$x_{5} = -81.6814090367173$$
$$x_{6} = -21.9911485865076$$
$$x_{7} = 720.471915223259$$
$$x_{8} = -48.1710873550435$$
$$x_{9} = 84.823001664144$$
$$x_{10} = -79.5870138909414$$
$$x_{11} = 76.4454212373516$$
$$x_{12} = 74.3510261349584$$
$$x_{13} = -70.162235930172$$
$$x_{14} = -21.9911487680291$$
$$x_{15} = -53.4070751780852$$
$$x_{16} = -83.7758040957278$$
$$x_{17} = 4.18879020478639$$
$$x_{18} = -26.1799387799149$$
$$x_{19} = 65.9734457524179$$
$$x_{20} = -15.707963296108$$
$$x_{21} = -52.3598775598299$$
$$x_{22} = -6.28318520531977$$
$$x_{23} = -90.0589894029074$$
$$x_{24} = -41.8879020478639$$
$$x_{25} = 87.9645943349125$$
$$x_{26} = 100.530964815737$$
$$x_{27} = -57.5958653158129$$
$$x_{28} = -97.3893723046965$$
$$x_{29} = 26.1799387799149$$
$$x_{30} = 72.2566310277269$$
$$x_{31} = -24.0855436775217$$
$$x_{32} = -85.870199198121$$
$$x_{33} = 63.8790506229925$$
$$x_{34} = -13.6135681655558$$
$$x_{35} = -63.8790506229925$$
$$x_{36} = 6.28318528449741$$
$$x_{37} = 70.162235930172$$
$$x_{38} = 41.8879020478639$$
$$x_{39} = -72.2566309262098$$
$$x_{40} = 33.5103216382911$$
$$x_{41} = 56.5486676696959$$
$$x_{42} = -28.2743337784666$$
$$x_{43} = -94.2477795007104$$
$$x_{44} = 17.8023583703422$$
$$x_{45} = -46.0766922526503$$
$$x_{46} = -39.7935069454707$$
$$x_{47} = 50.2654824463941$$
$$x_{48} = 39.7935069454707$$
$$x_{49} = 46.0766922526503$$
$$x_{50} = -12.5663703728218$$
$$x_{51} = -97.3893723140246$$
$$x_{52} = 48.1710873550435$$
$$x_{53} = -4.18879020478639$$
$$x_{54} = 60.7374579694027$$
$$x_{55} = -35.6047167406843$$
$$x_{56} = 85.870199198121$$
$$x_{57} = -75.3982234563503$$
$$x_{58} = -31.4159264982662$$
$$x_{59} = -37.6991118765052$$
$$x_{60} = 96.342174710087$$
$$x_{61} = 52.3598775598299$$
$$x_{62} = 94.2477796093533$$
$$x_{63} = 59.6902605103337$$
$$x_{64} = 81.6814090805726$$
$$x_{65} = 98.4365698124802$$
$$x_{66} = 92.1533845053006$$
$$x_{67} = -75.3982232420527$$
$$x_{68} = -50.2654823521144$$
$$x_{69} = -43.9822971748057$$
$$x_{70} = 90.0589894029074$$
$$x_{71} = 30.3687289847013$$
$$x_{72} = -68.0678408277789$$
$$x_{73} = -59.6902604567055$$
$$x_{74} = 15.7079633672581$$
$$x_{75} = 12.5663705268849$$
$$x_{76} = -87.9645943596624$$
$$x_{77} = 19.8967534727354$$
$$x_{78} = 68.0678408277789$$
$$x_{79} = 34.5575190978177$$
$$x_{80} = 6.2831852928604$$
$$x_{81} = 2.0943951023932$$
$$x_{82} = 43.9822971692115$$
$$x_{83} = -61.7846555205993$$
$$x_{84} = -19.8967534727354$$
$$x_{85} = 8.37758040957278$$
$$x_{86} = -75.3982237427215$$
$$x_{87} = -9.42477804291614$$
$$x_{88} = 78.539816242374$$
$$x_{89} = 75.3982236924273$$
$$x_{90} = 21.9911485851418$$
$$x_{91} = 54.4542726622231$$
$$x_{92} = 37.6991119391801$$
$$x_{93} = -65.973445765529$$
$$x_{94} = 24.0855436775217$$
$$x_{95} = -17.8023583703422$$
$$x_{96} = 28.2743338653253$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)*sin(3*x).
$$\sin{\left(0 \right)} \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(1 - \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(1 + \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{1 - \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{1 + \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi     
(--, -1)
 2      

(pi, 0)

   /     /        ____\         \     /  /     /        ____\         \\    /    /     /        ____\         \\ 
 I*\- log\1 - I*\/ 15 / + log(4)/     |I*\- log\1 - I*\/ 15 / + log(4)/|    |3*I*\- log\1 - I*\/ 15 / + log(4)/| 
(--------------------------------, sin|--------------------------------|*sin|----------------------------------|)
                2                     \               2                /    \                2                 / 

   /     /        ____\         \     /  /     /        ____\         \\    /    /     /        ____\         \\ 
 I*\- log\1 + I*\/ 15 / + log(4)/     |I*\- log\1 + I*\/ 15 / + log(4)/|    |3*I*\- log\1 + I*\/ 15 / + log(4)/| 
(--------------------------------, sin|--------------------------------|*sin|----------------------------------|)
                2                     \               2                /    \                2                 / 

       /    ______________ \     /     /    ______________ \\    /       /    ______________ \\ 
       |   /         ____  |     |     |   /         ____  ||    |       |   /         ____  || 
       |-\/  1 - I*\/ 15   |     |     |-\/  1 - I*\/ 15   ||    |       |-\/  1 - I*\/ 15   || 
(-I*log|-------------------|, sin|I*log|-------------------||*sin|3*I*log|-------------------||)
       \         2         /     \     \         2         //    \       \         2         // 

       /    ______________ \     /     /    ______________ \\    /       /    ______________ \\ 
       |   /         ____  |     |     |   /         ____  ||    |       |   /         ____  || 
       |-\/  1 + I*\/ 15   |     |     |-\/  1 + I*\/ 15   ||    |       |-\/  1 + I*\/ 15   || 
(-I*log|-------------------|, sin|I*log|-------------------||*sin|3*I*log|-------------------||)
       \         2         /     \     \         2         //    \       \         2         // 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 5 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -93.9036583623$$
$$x_{2} = -505.452295983$$
$$x_{3} = -5.93906406176$$
$$x_{4} = -53.7511963564$$
$$x_{5} = 45.9864315206$$
$$x_{6} = 41.9781627799$$
$$x_{7} = 85.9604599302$$
$$x_{8} = -27.9302126369$$
$$x_{9} = -57.6861260479$$
$$x_{10} = 38.0432330885$$
$$x_{11} = -75.7423449316$$
$$x_{12} = -85.9604599302$$
$$x_{13} = -2.00413437035$$
$$x_{14} = 78.1956950943$$
$$x_{15} = -65.62932448$$
$$x_{16} = -78.1956950943$$
$$x_{17} = -56.2045465192$$
$$x_{18} = 93.9036583623$$
$$x_{19} = -17.7120976383$$
$$x_{20} = 26.270199512$$
$$x_{21} = -43.6381759048$$
$$x_{22} = -31.0718052905$$
$$x_{23} = 4.27905093683$$
$$x_{24} = 9.08065671535$$
$$x_{25} = 34.2133979441$$
$$x_{26} = 44.3264183957$$
$$x_{27} = -54.5445333943$$
$$x_{28} = 11.4289123311$$
$$x_{29} = 23.9952829455$$
$$x_{30} = 63.969311355$$
$$x_{31} = 2.00413437035$$
$$x_{32} = 21.6470273297$$
$$x_{33} = -12.9104918598$$
$$x_{34} = 89.9687286709$$
$$x_{35} = -34.2133979441$$
$$x_{36} = -21.6470273297$$
$$x_{37} = -61.6943947886$$
$$x_{38} = 74.2607654029$$
$$x_{39} = -9.76889920619$$
$$x_{40} = 67.9775800957$$
$$x_{41} = -60.0343816636$$
$$x_{42} = 66.3175669708$$
$$x_{43} = -79.677274623$$
$$x_{44} = 96.251913978$$
$$x_{45} = -87.6204730551$$
$$x_{46} = -89.9687286709$$
$$x_{47} = 71.9125097871$$
$$x_{48} = 31.0718052905$$
$$x_{49} = -75.0541024407$$
$$x_{50} = 30.2784682527$$
$$x_{51} = -31.7600477813$$
$$x_{52} = -97.0452510159$$
$$x_{53} = 92.2436452373$$
$$x_{54} = 27.9302126369$$
$$x_{55} = 60.0343816636$$
$$x_{56} = 8.28731967753$$
$$x_{57} = -41.9781627799$$
$$x_{58} = 22.3352698205$$
$$x_{59} = -63.969311355$$
$$x_{60} = -100.186843669$$
$$x_{61} = -19.9870142048$$
$$x_{62} = 12.2222493689$$
$$x_{63} = 52.2696168278$$
$$x_{64} = -97.7334935067$$
$$x_{65} = -71.9125097871$$
$$x_{66} = -82.0255302388$$
$$x_{67} = 19.193677167$$
$$x_{68} = -35.6949774727$$
$$x_{69} = 48.2613480871$$
$$x_{70} = 82.0255302388$$
$$x_{71} = 19.9870142048$$
$$x_{72} = -83.6855433637$$
$$x_{73} = 75.7423449316$$
$$x_{74} = -49.921361212$$
$$x_{75} = -67.9775800957$$
$$x_{76} = 0.344121245418$$
$$x_{77} = 232.13373512$$
$$x_{78} = -13.7038288976$$
$$x_{79} = 70.2524966622$$
$$x_{80} = 49.921361212$$
$$x_{81} = 100.186843669$$
$$x_{82} = 5.93906406176$$
$$x_{83} = -39.7032462134$$
$$x_{84} = -38.0432330885$$
$$x_{85} = -16.0520845134$$
$$x_{86} = -23.9952829455$$
$$x_{87} = 43.6381759048$$
$$x_{88} = 88.3087155459$$
$$x_{89} = 16.0520845134$$
$$x_{90} = 85.1671228923$$
$$x_{91} = -45.9864315206$$
$$x_{92} = 56.2045465192$$
$$x_{93} = -185.009845316$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[232.13373512, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -97.7334935067]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)*sin(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График