График функции y = sin(x)^(2)+2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2       
f(x) = sin (x) + 2
f(x)=sin2(x)+2f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} + 2
График функции
0-10000-8000-6000-4000-200020004000600080001000014
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin2(x)+2=0\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2 + 2.
sin2(0)+2\sin^{2}{\left (0 \right )} + 2
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2sin(x)cos(x)=02 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)

 pi    
(--, 3)
 2     

(pi, 2)

 3*pi    
(----, 3)
  2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x4=0x_{4} = 0
x4=πx_{4} = \pi
Максимумы функции в точках:
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Убывает на промежутках
[0, pi/2] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(sin2(x)+cos2(x))=02 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(sin2(x)+2)=2,3\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2\right) = \langle 2, 3\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=2,3y = \langle 2, 3\rangle
limx(sin2(x)+2)=2,3\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2\right) = \langle 2, 3\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=2,3y = \langle 2, 3\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(sin2(x)+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(sin2(x)+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin2(x)+2=sin2(x)+2\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 = \sin^{2}{\left (x \right )} + 2
- Да
sin2(x)+2=sin2(x)2\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 = - \sin^{2}{\left (x \right )} - 2
- Нет
значит, функция
является
чётной