График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: sin2(x)+2=0 Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(x)^2 + 2. sin2(0)+2 Результат: f(0)=2 Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 2sin(x)cos(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=2π x3=π x4=23π Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)
pi
(--, 3)
2
(pi, 2)
3*pi
(----, 3)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x4=0 x4=π Максимумы функции в точках: x4=2π x4=23π Убывает на промежутках
[0, pi/2] U [pi, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(−sin2(x)+cos2(x))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−43π x2=−4π x3=4π x4=43π
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[3*pi/4, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(sin2(x)+2)=⟨2,3⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨2,3⟩ x→∞lim(sin2(x)+2)=⟨2,3⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨2,3⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(sin2(x)+2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1(sin2(x)+2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: sin2(x)+2=sin2(x)+2 - Да sin2(x)+2=−sin2(x)−2 - Нет значит, функция является чётной