График функции y = sin(x^3)

Вы ввели

          / 3\
f(x) = sin\x /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x^{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 30.2293620414202$$
$$x_{2} = -36.2255845190244$$
$$x_{3} = 40.3472430030127$$
$$x_{4} = 60.238182131075$$
$$x_{5} = -80.9445897218871$$
$$x_{6} = 91.0400569571314$$
$$x_{7} = -39.8160048582235$$
$$x_{8} = 66.3206240698227$$
$$x_{9} = 58.036374298316$$
$$x_{10} = -50.3643866968123$$
$$x_{11} = -67.7262717513814$$
$$x_{12} = 24.1116249422798$$
$$x_{13} = -2.66134007898294$$
$$x_{14} = 14.3061221331152$$
$$x_{15} = 64.0327013588411$$
$$x_{16} = 2.11230702051132$$
$$x_{17} = -35.4277051297686$$
$$x_{18} = 100.524105343877$$
$$x_{19} = 60.8862888669884$$
$$x_{20} = 0$$
$$x_{21} = -45.935567974739$$
$$x_{22} = -51.908085278234$$
$$x_{23} = -60.0613334808789$$
$$x_{24} = 38.1651359042506$$
$$x_{25} = -23.526544051346$$
$$x_{26} = 4.16350951707585 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -37.77582423001$$
$$x_{28} = -19.6794771781006$$
$$x_{29} = -42.05990702896$$
$$x_{30} = -1.84527014864403$$
$$x_{31} = -53.833809215933$$
$$x_{32} = 7.9010202528592$$
$$x_{33} = -75.7496326047389$$
$$x_{34} = 65.5334964125645$$
$$x_{35} = 97.8402483567138$$
$$x_{36} = -83.7204199578042$$
$$x_{37} = -54.0594237656711$$
$$x_{38} = 13.2948616872458$$
$$x_{39} = 81.7140169374176$$
$$x_{40} = -9.7606901829518$$
$$x_{41} = 84.316329141628$$
$$x_{42} = 6.09294778537956$$
$$x_{43} = 7.45717957355971$$
$$x_{44} = 18.3350863055224$$
$$x_{45} = 44.2078559991009$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^3).
$$\sin{\left(0^{3} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} \cos{\left(x^{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

  2/3 3 ____    
 2   *\/ pi     
(-----------, 1)
      2         

  2/3 3 ___ 3 ____     
 2   *\/ 3 *\/ pi      
(-----------------, -1)
         2             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}\right] \cup \left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}, \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x \left(- 3 x^{3} \sin{\left(x^{3} \right)} + 2 \cos{\left(x^{3} \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -27.9269618125513$$
$$x_{2} = -27.7608224441345$$
$$x_{3} = -37.9052696415318$$
$$x_{4} = 5.09102540255077$$
$$x_{5} = -3.53028009089283$$
$$x_{6} = -19.6198092342341$$
$$x_{7} = 82.2812534424732$$
$$x_{8} = 20.2623254146901$$
$$x_{9} = 38.244772390335$$
$$x_{10} = -12.0287337195617$$
$$x_{11} = 94.1983190895141$$
$$x_{12} = 65.3937229952303$$
$$x_{13} = -94.1555777673182$$
$$x_{14} = -1.85539544031822$$
$$x_{15} = 3.15607728092207$$
$$x_{16} = 37.0142600566667$$
$$x_{17} = 0$$
$$x_{18} = 2.1175309622679$$
$$x_{19} = 98.1815688903122$$
$$x_{20} = -35.8710093776997$$
$$x_{21} = 14.0667750994269$$
$$x_{22} = -11.6322190468637$$
$$x_{23} = 1.85539544031822$$
$$x_{24} = -96.0905653609333$$
$$x_{25} = 6.14887479340878$$
$$x_{26} = -55.7540491256996$$
$$x_{27} = -73.9207815664978$$
$$x_{28} = -1.4945998734674$$
$$x_{29} = 40.3060309242619$$
$$x_{30} = 11.0287418052206$$
$$x_{31} = 22.2833120580445$$
$$x_{32} = 40.2744208678469$$
$$x_{33} = -7.86733416647694$$
$$x_{34} = -21.6295192554946$$
$$x_{35} = 28.091147608035$$
$$x_{36} = -52.0201629425962$$
$$x_{37} = -8.41979327571322$$
$$x_{38} = -83.7504396450876$$
$$x_{39} = 26.1223995812795$$
$$x_{40} = 3.04731963419945$$
$$x_{41} = -5.28551127145611$$
$$x_{42} = -29.808696652346$$
$$x_{43} = 18.6925315757683$$
$$x_{44} = 54.198100598995$$
$$x_{45} = -9.29958200707356$$
$$x_{46} = -67.8468300478187$$
$$x_{47} = 25.5273233413891$$
$$x_{48} = -77.6936943146356$$
$$x_{49} = -41.444178676438$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[98.1815688903122, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -83.7504396450876\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x^{3} \right)} = - \sin{\left(x^{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x^{3} \right)} = \sin{\left(x^{3} \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График