График функции y = (3-x)*e^x

Вы ввели

                x
f(x) = (3 - x)*E 

$$f{\left (x \right )} = e^{x} \left(- x + 3\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \left(- x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -121.060291202$$
$$x_{2} = -57.3164867534$$
$$x_{3} = -93.1235868162$$
$$x_{4} = -97.1120495158$$
$$x_{5} = -81.1660166223$$
$$x_{6} = -65.2515753571$$
$$x_{7} = -115.071013554$$
$$x_{8} = 3$$
$$x_{9} = -39.5991101905$$
$$x_{10} = -83.1579732739$$
$$x_{11} = -31.8971886856$$
$$x_{12} = -51.3821676071$$
$$x_{13} = -87.14314419$$
$$x_{14} = -103.096605848$$
$$x_{15} = -41.5506189942$$
$$x_{16} = -101.101527352$$
$$x_{17} = -61.2814467336$$
$$x_{18} = -91.1297833838$$
$$x_{19} = -89.1362942897$$
$$x_{20} = -53.3581866464$$
$$x_{21} = -117.067305958$$
$$x_{22} = -75.193131129$$
$$x_{23} = -73.2033239479$$
$$x_{24} = -99.1066701337$$
$$x_{25} = -95.1176822742$$
$$x_{26} = -37.6553752444$$
$$x_{27} = -33.8006485741$$
$$x_{28} = -47.4381699085$$
$$x_{29} = -55.3363893374$$
$$x_{30} = -71.2141900449$$
$$x_{31} = -111.0788689$$
$$x_{32} = -45.471165545$$
$$x_{33} = -105.091891598$$
$$x_{34} = -59.2982393477$$
$$x_{35} = -63.2659399233$$
$$x_{36} = -107.087371742$$
$$x_{37} = -119.063734293$$
$$x_{38} = -77.1835505143$$
$$x_{39} = -43.5083552648$$
$$x_{40} = -35.721544017$$
$$x_{41} = -113.074865014$$
$$x_{42} = -85.1503604018$$
$$x_{43} = -67.2382302561$$
$$x_{44} = -69.2257989645$$
$$x_{45} = -49.4086841814$$
$$x_{46} = -109.083034468$$
$$x_{47} = -79.174528242$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3 - x)*E^x.
$$e^{0} \left(- 0 + 3\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- x + 3\right) e^{x} - e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

     2 
(2, e )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2]

Возрастает на промежутках

[2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \left(x - 1\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1]

Выпуклая на промежутках

[1, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(- x + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(- x + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(- x + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(- x + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} \left(- x + 3\right) = \left(x + 3\right) e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} \left(- x + 3\right) = - \left(x + 3\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной