График функции y = x-sqrt(x^2-25)

Вы ввели

              _________
             /  2      
f(x) = x - \/  x  - 25 

$$f{\left(x \right)} = x - \sqrt{x^{2} - 25}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \sqrt{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - sqrt(x^2 - 1*25).
$$0 - \sqrt{\left(-1\right) 25 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - 5 i$$
Точка:

(0, -5*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 25} - 1}{\sqrt{x^{2} - 25}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} - 25}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} - 25}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - sqrt(x^2 - 1*25), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{x^{2} - 25}}{x}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{x^{2} - 25}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \sqrt{x^{2} - 25} = - x - \sqrt{x^{2} - 25}$$
- Нет
$$x - \sqrt{x^{2} - 25} = x + \sqrt{x^{2} - 25}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График