График функции y = x+log(|x|)/|x|

Вы ввели

           log(|x|)
f(x) = x + --------
             |x|   

$$f{\left (x \right )} = x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2} \operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.652918640419205$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + log(|x|)/|x|.
$$\frac{1}{\left|{0}\right|} \log{\left (\left|{0}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1]

Возрастает на промежутках

[-1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(- 2 \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \delta\left(x\right) + 2 \delta\left(x\right) - \frac{1}{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(- 2 \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \delta\left(x\right) + 2 \delta\left(x\right) - \frac{1}{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(- 2 \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \delta\left(x\right) + 2 \delta\left(x\right) - \frac{1}{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(3/2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(3/2)]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + log(|x|)/|x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = - x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Нет
$$x + \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = - -1 x - \frac{1}{\left|{x}\right|} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной