График функции y = x*sqrt(9-x)

Вы ввели

           _______
f(x) = x*\/ 9 - x 

$$f{\left(x \right)} = x \sqrt{9 - x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{9 - x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(9 - x).
$$0 \sqrt{9 - 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x}{2 \sqrt{9 - x}} + \sqrt{9 - x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

        ___ 
(6, 6*\/ 3 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 6\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[6, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\frac{x}{4 \cdot \left(9 - x\right)} + 1}{\sqrt{9 - x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 12$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{9 - x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{9 - x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(9 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9 - x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{9 - x} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{9 - x} = - x \sqrt{x + 9}$$
- Нет
$$x \sqrt{9 - x} = x \sqrt{x + 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График