График функции y = x^4-13*x^2+36/(x-3)*(x+2)

Вы ввели

        4       2     36         
f(x) = x  - 13*x  + -----*(x + 2)
                    x - 3        

$$f{\left (x \right )} = \frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение

False

Численное решение
$$x_{1} = -3.5103047874$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 13*x^2 + (36/(x - 3))*(x + 2).
$$2 \frac{36}{-3} + 0^{4} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -24$$
Точка:

(0, -24)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 26 x + \frac{36}{x - 3} - \frac{36 x + 72}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2.42243965084065$$
$$x_{2} = -0.571469020680633$$
$$x_{3} = 4.055933058382$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2.42243965084065, -39.046236467376)

(-0.571469020680633, -18.5382756939218)

(4.055933058382, 263.229652075924)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -2.42243965084065$$
$$x_{3} = 4.055933058382$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = -0.571469020680633$$
Убывает на промежутках

[-2.42243965084065, -0.571469020680633] U [4.055933058382, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2.42243965084065] U [-0.571469020680633, 4.055933058382]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(6 x^{2} - 13 - \frac{36}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{36 x + 72}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1.5748011167747$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(2 \left(6 x^{2} - 13 - \frac{36}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{36 x + 72}{\left(x - 3\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(2 \left(6 x^{2} - 13 - \frac{36}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{36 x + 72}{\left(x - 3\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1.5748011167747]

Выпуклая на промежутках

[-1.5748011167747, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 13*x^2 + (36/(x - 3))*(x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2} = x^{4} - 13 x^{2} + \frac{- 36 x + 72}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{36}{x - 3} \left(x + 2\right) + x^{4} - 13 x^{2} = - x^{4} - - 13 x^{2} - \frac{- 36 x + 72}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной