График функции y = x^2/5^x

Вы ввели

        2
       x 
f(x) = --
        x
       5 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{5^{x}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{5^{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/5^x.
$$\frac{0^{2}}{5^{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 5^{- x} x^{2} \log{\left (5 \right )} + 2 \cdot 5^{- x} x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2}{\log{\left (5 \right )}}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

             -2  
   2      4*e    
(------, -------)
 log(5)     2    
         log (5) 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{2}{\log{\left (5 \right )}}$$
Убывает на промежутках

[0, 2/log(5)]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [2/log(5), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$5^{- x} \left(x^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} - 4 x \log{\left (5 \right )} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{- \sqrt{2} + 2}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\log{\left (5 \right )}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, (-sqrt(2) + 2)/log(5)] U [(sqrt(2) + 2)/log(5), oo)

Выпуклая на промежутках

[(-sqrt(2) + 2)/log(5), (sqrt(2) + 2)/log(5)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{5^{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{5^{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/5^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5^{- x} x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{- x} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{5^{x}} = 5^{x} x^{2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{5^{x}} = - 5^{x} x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной