График функции y = x^3/(x^2-1)

Вы ввели

          3  
         x   
f(x) = ------
        2    
       x  - 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -6.0574173203798 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.74973925703168 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -2.68857710606591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.08898332365885 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -1.08472141172313 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -2.49336033753144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 1.16204482588066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -2.17774976012942 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -1.02080758042044 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -1.51073945424544 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = -1.73872944593724 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 1.05579883209673 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 2.51618215228747 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -1.28613060064861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 1.342236195435 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.51903427544602 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 7.67083144416217 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -5.29187129903907 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -1.05179268996856 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -5.12042741549476 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 1.20238847944317 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 1.39639656625653 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = 2.19509777092235 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 1.02458034133386 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -1.83091515307426 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -1.24006502327191 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = 1.4551271928972 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -4.44161874624345 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 3.22717842026557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -2.32480068472512 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -1.15719184340806 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 1.1243259607334 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = 3.98307650781915 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 2.0636385729793 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = 1.24564149000914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -1.11978292621615 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = -1.44751619396974 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 1.58883662823119 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -1.93348554829681 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = 1.94712556311211 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -1.33576097897323 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = -1.19719263402108 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = 6.20057747564769 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = 2.94881744011949 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = -1.65542082274722 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -1.38938794491965 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = 2.34460265212289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -1.57976110420401 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 0.000101800776441895$$
$$x_{50} = 3.56472597229872 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 2.71517522466557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 4.51615820073414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 1.84313405992713 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 0$$
$$x_{55} = 5.2207525204139 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = 1.29213121771585 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 1.66539322097999 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = -2.04831244816923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -3.51864737764513 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = -3.92536494407101 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -7.44724958198743 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = -9.77021946752451 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = -2.9174073389914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = -3.18949748349294 \cdot 10^{-5}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x^2 - 1*1).
$$\frac{0^{3}}{\left(-1\right) 1 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

              ___ 
    ___  -3*\/ 3  
(-\/ 3, --------)
          3 - 1   

            ___ 
   ___  3*\/ 3  
(\/ 3, -------)
         3 - 1  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График