График функции y = x^3-6*x^2+9

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2    
f(x) = x  - 6*x  + 9
f(x)=x36x2+9f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 9
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x36x2+9=0x^{3} - 6 x^{2} + 9 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2+472+323i23+72+323i23x_{1} = 2 + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{23} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{23} i}{2}}
Численное решение
x1=1.12398317950581x_{1} = -1.12398317950581
x2=5.72544873530111x_{2} = 5.72544873530111
x3=1.39853444420471x_{3} = 1.39853444420471
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 6*x^2 + 9.
03602+90^{3} - 6 \cdot 0^{2} + 9
Результат:
f(0)=9f{\left(0 \right)} = 9
Точка:
(0, 9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x212x=03 x^{2} - 12 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(0, 9)

(4, -23)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=4x_{1} = 4
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][4,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,4]\left[0, 4\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x2)=06 \left(x - 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,)\left[2, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2]\left(-\infty, 2\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x36x2+9)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x36x2+9)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 6*x^2 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x36x2+9x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x36x2+9x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x36x2+9=x36x2+9x^{3} - 6 x^{2} + 9 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9
- Нет
x36x2+9=x3+6x29x^{3} - 6 x^{2} + 9 = x^{3} + 6 x^{2} - 9
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-6*x^2+9 /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/07/64cd7b7fdf4b559f112b29c6499bf.png