График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x3−6x2+9=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=2+327+2323i4+327+2323i Численное решение x1=−1.12398317950581 x2=5.72544873530111 x3=1.39853444420471
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3 - 6*x^2 + 9. 03−6⋅02+9 Результат: f(0)=9 Точка:
(0, 9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 3x2−12x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=4 Зн. экстремумы в точках:
(0, 9)
(4, -23)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=4 Максимумы функции в точках: x1=0 Убывает на промежутках (−∞,0]∪[4,∞) Возрастает на промежутках [0,4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 6(x−2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [2,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x3−6x2+9)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x3−6x2+9)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 6*x^2 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx3−6x2+9)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx3−6x2+9)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x3−6x2+9=−x3−6x2+9 - Нет x3−6x2+9=x3+6x2−9 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной