График функции y = x^3-6*x^2+9

Вы ввели

        3      2    
f(x) = x  - 6*x  + 9

$$f{\left (x \right )} = x^{3} - 6 x^{2} + 9$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 i}{2} \sqrt{23}}} + \sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 i}{2} \sqrt{23}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.3985344442$$
$$x_{2} = -1.12398317951$$
$$x_{3} = 5.7254487353$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 6*x^2 + 9.
$$0^{3} - 0 + 9$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:

(0, 9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 12 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 9)

(4, -23)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 6*x^2 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 6 x^{2} + 9\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9$$
- Нет
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 = - -1 x^{3} - - 6 x^{2} - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной