График y = f(x) = x^3-x^2-x+2 (х в кубе минус х в квадрате минус х плюс 2) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^3-x^2-x+2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3    2        
f(x) = x  - x  - x + 2
$$f{\left(x \right)} = \left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{177}}{2} + \frac{43}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{177}}{2} + \frac{43}{2}}} + \frac{1}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.20556943040059$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - x^2 - x + 2.
$$\left(\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0\right) + 2$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
       59 
(-1/3, --)
       27 

(1, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{3}, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(3 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - x^2 - x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2 = - x^{3} - x^{2} + x + 2$$
- Нет
$$\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 2 = x^{3} + x^{2} - x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-x^2-x+2 /media/krcore-image-pods/6/c6/a03dc2154c898b9d6b72b06ec91cf.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: