График y = f(x) = sin(x)/sin(x+pi/4) (синус от (х) делить на синус от (х плюс число пи делить на 4)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = sin(x)/sin(x+pi/4)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          sin(x)  
f(x) = -----------
          /    pi\
       sin|x + --|
          \    4 /
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -100.530964914873$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -87.9645943005142$$
$$x_{4} = 84.8230016469244$$
$$x_{5} = -94.2477796076938$$
$$x_{6} = 34.5575191894877$$
$$x_{7} = -15.707963267949$$
$$x_{8} = 18.8495559215388$$
$$x_{9} = 72.2566310325652$$
$$x_{10} = -65.9734457253857$$
$$x_{11} = -6.28318530717959$$
$$x_{12} = -34.5575191894877$$
$$x_{13} = -40.8407044966673$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = 15.707963267949$$
$$x_{16} = -69.1150383789755$$
$$x_{17} = -53.4070751110265$$
$$x_{18} = 81.6814089933346$$
$$x_{19} = -97.3893722612836$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 97.3893722612836$$
$$x_{22} = -84.8230016469244$$
$$x_{23} = -59.6902604182061$$
$$x_{24} = 69.1150383789755$$
$$x_{25} = 62.8318530717959$$
$$x_{26} = 75.398223686155$$
$$x_{27} = -75.398223686155$$
$$x_{28} = -50.2654824574367$$
$$x_{29} = -31.4159265358979$$
$$x_{30} = 40.8407044966673$$
$$x_{31} = 9.42477796076938$$
$$x_{32} = 12.5663706143592$$
$$x_{33} = -28.2743338823081$$
$$x_{34} = 53.4070751110265$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{36} = -18.8495559215388$$
$$x_{37} = 25.1327412287183$$
$$x_{38} = 87.9645943005142$$
$$x_{39} = -78.5398163397448$$
$$x_{40} = -37.6991118430775$$
$$x_{41} = 94.2477796076938$$
$$x_{42} = -43.9822971502571$$
$$x_{43} = 91.106186954104$$
$$x_{44} = 78.5398163397448$$
$$x_{45} = -9.42477796076938$$
$$x_{46} = -62.8318530717959$$
$$x_{47} = 59.6902604182061$$
$$x_{48} = 37.6991118430775$$
$$x_{49} = -91.106186954104$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = -81.6814089933346$$
$$x_{52} = 65.9734457253857$$
$$x_{53} = -47.1238898038469$$
$$x_{54} = -3.14159265358979$$
$$x_{55} = -56.5486677646163$$
$$x_{56} = 43.9822971502571$$
$$x_{57} = 31.4159265358979$$
$$x_{58} = 3.14159265358979$$
$$x_{59} = 21.9911485751286$$
$$x_{60} = 100.530964914873$$
$$x_{61} = 28.2743338823081$$
$$x_{62} = 6.28318530717959$$
$$x_{63} = 47.1238898038469$$
$$x_{64} = 56.5486677646163$$
$$x_{65} = -12.5663706143592$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/sin(x + pi/4).
$$\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi}{4} \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 51.0508806208341$$
$$x_{2} = -52.621676947629$$
$$x_{3} = 79.3252145031423$$
$$x_{4} = -80.8960108299372$$
$$x_{5} = 38.484510006475$$
$$x_{6} = -74.6128255227576$$
$$x_{7} = -68.329640215578$$
$$x_{8} = -46.3384916404494$$
$$x_{9} = -96.6039740978861$$
$$x_{10} = -36.9137136796801$$
$$x_{11} = -65.1880475619882$$
$$x_{12} = 32.2013246992954$$
$$x_{13} = 44.7676953136546$$
$$x_{14} = 60.4756585816035$$
$$x_{15} = 3.92699081698724$$
$$x_{16} = -21.2057504117311$$
$$x_{17} = 98.174770424681$$
$$x_{18} = 22.776546738526$$
$$x_{19} = -93.4623814442964$$
$$x_{20} = 63.6172512351933$$
$$x_{21} = -2.35619449019234$$
$$x_{22} = -99.7455667514759$$
$$x_{23} = 95.0331777710912$$
$$x_{24} = -40.0553063332699$$
$$x_{25} = 19.6349540849362$$
$$x_{26} = 88.7499924639117$$
$$x_{27} = 57.3340659280137$$
$$x_{28} = 25.9181393921158$$
$$x_{29} = 101.316363078271$$
$$x_{30} = -43.1968989868597$$
$$x_{31} = 0.785398163397448$$
$$x_{32} = 54.1924732744239$$
$$x_{33} = -62.0464549083984$$
$$x_{34} = 82.4668071567321$$
$$x_{35} = 10.2101761241668$$
$$x_{36} = -84.037603483527$$
$$x_{37} = -30.6305283725005$$
$$x_{38} = 47.9092879672443$$
$$x_{39} = 73.0420291959627$$
$$x_{40} = 69.9004365423729$$
$$x_{41} = -49.4800842940392$$
$$x_{42} = 16.4933614313464$$
$$x_{43} = -33.7721210260903$$
$$x_{44} = -18.0641577581413$$
$$x_{45} = 41.6261026600648$$
$$x_{46} = 76.1836218495525$$
$$x_{47} = -90.3207887907066$$
$$x_{48} = -87.1791961371168$$
$$x_{49} = -77.7544181763474$$
$$x_{50} = 29.0597320457056$$
$$x_{51} = 85.6083998103219$$
$$x_{52} = -71.4712328691678$$
$$x_{53} = 7.06858347057703$$
$$x_{54} = -58.9048622548086$$
$$x_{55} = -24.3473430653209$$
$$x_{56} = 66.7588438887831$$
$$x_{57} = -27.4889357189107$$
$$x_{58} = -55.7632696012188$$
$$x_{59} = 91.8915851175014$$
$$x_{60} = -14.9225651045515$$
$$x_{61} = 13.3517687777566$$
$$x_{62} = -5.49778714378214$$
$$x_{63} = -8.63937979737193$$
$$x_{64} = -11.7809724509617$$
$$x_{65} = 35.3429173528852$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

$$\lim_{x \to -0.785398163397448^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \sin^{2}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}\right)}{\cos^{3}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}}$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(- 1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \cos^{2}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}}$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[101.316363078271, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -99.7455667514759\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/sin(x + pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sin(x)/sin(x+pi/4) /media/krcore-image-pods/d/90/ec11c49a9d3912b311c87b9f74cbc.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: