График функции y = (|x+3|)/(x+3)-x-1

       |x + 3|        
f(x) = ------- - x - 1
        x + 3         

$$f{\left (x \right )} = - x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 3|/(x + 3) - x - 1.
$$-1 + - 0 + \frac{\left|{3}\right|}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$-1 + \frac{\operatorname{sign}{\left (x + 3 \right )}}{x + 3} - \frac{\left|{x + 3}\right|}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = -3$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 3|/(x + 3) - x - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = x - 1 + \frac{\left|{x - 3}\right|}{- x + 3}$$
- Нет
$$- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = - x + 1 - \frac{\left|{x - 3}\right|}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной