График функции y = (|x+3|)/(x+3)-x-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       |x + 3|        
f(x) = ------- - x - 1
        x + 3         
f(x)=x+x+3x+31f{\left (x \right )} = - x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1
График функции
02468-8-6-4-2-1010-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+x+3x+31=0- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 3|/(x + 3) - x - 1.
1+0+33-1 + - 0 + \frac{\left|{3}\right|}{3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1+sign(x+3)x+3x+3(x+3)2=0-1 + \frac{\operatorname{sign}{\left (x + 3 \right )}}{x + 3} - \frac{\left|{x + 3}\right|}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+x+3x+31)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x+x+3x+31)=\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 3|/(x + 3) - x - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x+x+3x+31))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right)\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = - x
limx(1x(x+x+3x+31))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1\right)\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = - x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+x+3x+31=x1+x3x+3- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = x - 1 + \frac{\left|{x - 3}\right|}{- x + 3}
- Нет
x+x+3x+31=x+1x3x+3- x + \frac{\left|{x + 3}\right|}{x + 3} - 1 = - x + 1 - \frac{\left|{x - 3}\right|}{- x + 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной