График функции y = sin(x)+(1/2)*sin(2*x)+(1/3)*sin(3*x)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

                sin(2*x)   sin(3*x)
f(x) = sin(x) + -------- + --------
                   2          3    

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 81.6814089933$$
$$x_{3} = 84.8230016469$$
$$x_{4} = -3.14159265359$$
$$x_{5} = 179.070781255$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 15.7079632679$$
$$x_{8} = 100.530964915$$
$$x_{9} = 50.2654824574$$
$$x_{10} = -53.407075111$$
$$x_{11} = 40.8407044967$$
$$x_{12} = -59.6902604182$$
$$x_{13} = 97.3893722613$$
$$x_{14} = 28.2743338823$$
$$x_{15} = -43.9822971503$$
$$x_{16} = 25.1327412287$$
$$x_{17} = -81.6814089933$$
$$x_{18} = -267.035375555$$
$$x_{19} = 87.9645943005$$
$$x_{20} = 69.115038379$$
$$x_{21} = -34.5575191895$$
$$x_{22} = 78.5398163397$$
$$x_{23} = -31.4159265359$$
$$x_{24} = -103.672557568$$
$$x_{25} = 72.2566310326$$
$$x_{26} = 56.5486677646$$
$$x_{27} = -75.3982236862$$
$$x_{28} = -6.28318530718$$
$$x_{29} = -9.42477796077$$
$$x_{30} = 6.28318530718$$
$$x_{31} = -65.9734457254$$
$$x_{32} = -87.9645943005$$
$$x_{33} = -72.2566310326$$
$$x_{34} = 9.42477796077$$
$$x_{35} = -50.2654824574$$
$$x_{36} = 0$$
$$x_{37} = 91.1061869541$$
$$x_{38} = 59.6902604182$$
$$x_{39} = -47.1238898038$$
$$x_{40} = 12.5663706144$$
$$x_{41} = -21.9911485751$$
$$x_{42} = -37.6991118431$$
$$x_{43} = -97.3893722613$$
$$x_{44} = 94.2477796077$$
$$x_{45} = 34.5575191895$$
$$x_{46} = -91.1061869541$$
$$x_{47} = 21.9911485751$$
$$x_{48} = 37.6991118431$$
$$x_{49} = 53.407075111$$
$$x_{50} = -78.5398163397$$
$$x_{51} = 22892.7856667$$
$$x_{52} = 43.9822971503$$
$$x_{53} = -15.7079632679$$
$$x_{54} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + sin(2*x)/2 + sin(3*x)/3.
$$\sin{\left (0 \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (0 \cdot 2 \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\rangle$$

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + sin(2*x)/2 + sin(3*x)/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )} = - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - - \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной