Точки, в которых функция точно неопределена: x1=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x−21(4x2+2x−4)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−41+417 x2=−417−41 Численное решение x1=−1.2807764064 x2=0.780776406404
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2). −21(−4+4⋅02+0⋅2) Результат: f(0)=2 Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x−28x+2−(x−2)21(4x2+2x−4)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=4 Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)
(4, 34)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=4 Максимумы функции в точках: x2=0 Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [4, oo)
Возрастает на промежутках
[0, 4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x−21(8−x−216x+4+(x−2)21(8x2+4x−8))=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x−21(4x2+2x−4))=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x−21(4x2+2x−4))=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x−2)4x2+2x−4)=4 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=4x x→∞lim(x(x−2)4x2+2x−4)=4 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=4x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x−21(4x2+2x−4)=−x−24x2−2x−4 - Нет x−21(4x2+2x−4)=−−x−24x2−2x−4 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной