График функции y = (4*x^2+2*x-4)/(x-2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

          2          
       4*x  + 2*x - 4
f(x) = --------------
           x - 2     

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.2807764064$$
$$x_{2} = 0.780776406404$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2).
$$\frac{1}{-2} \left(-4 + 4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{8 x + 2}{x - 2} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

(4, 34)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 4]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(8 - \frac{16 x + 4}{x - 2} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(8 x^{2} + 4 x - 8\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 2 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 2 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 4 x$$

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 4}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = - \frac{4 x^{2} - 2 x - 4}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной