График функции y = (4*x^2+2*x-4)/(x-2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2          
       4*x  + 2*x - 4
f(x) = --------------
           x - 2     
f(x)=1x2(4x2+2x4)f{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)
График функции
-6.5-6.0-5.5-5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.0-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
1x2(4x2+2x4)=0\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=14+174x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}
x2=17414x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}
Численное решение
x1=1.2807764064x_{1} = -1.2807764064
x2=0.780776406404x_{2} = 0.780776406404
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2).
12(4+402+02)\frac{1}{-2} \left(-4 + 4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2\right)
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
8x+2x21(x2)2(4x2+2x4)=0\frac{8 x + 2}{x - 2} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)

(4, 34)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=4x_{2} = 4
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [4, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2(816x+4x2+1(x2)2(8x2+4x8))=0\frac{1}{x - 2} \left(8 - \frac{16 x + 4}{x - 2} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(8 x^{2} + 4 x - 8\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(1x2(4x2+2x4))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(1x2(4x2+2x4))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 2*x - 4)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(4x2+2x4x(x2))=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 2 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=4xy = 4 x
limx(4x2+2x4x(x2))=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 2 x - 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=4xy = 4 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
1x2(4x2+2x4)=4x22x4x2\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 4}{- x - 2}
- Нет
1x2(4x2+2x4)=4x22x4x2\frac{1}{x - 2} \left(4 x^{2} + 2 x - 4\right) = - \frac{4 x^{2} - 2 x - 4}{- x - 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной