График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 15x4−15x2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 x2=0 x3=1 Численное решение x1=0 x2=−1 x3=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 15*x^4 - 15*x^2. 15⋅04−15⋅02 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 60x3−30x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−22 x3=22 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
-\/ 2
(-------, -15/4)
2
___
\/ 2
(-----, -15/4)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−22 x2=22 Максимумы функции в точках: x2=0 Убывает на промежутках [−22,0]∪[22,∞) Возрастает на промежутках (−∞,−22]∪[0,22]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 30⋅(6x2−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−66 x2=66
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−66]∪[66,∞) Выпуклая на промежутках [−66,66]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(15x4−15x2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(15x4−15x2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 15*x^4 - 15*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x15x4−15x2)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x15x4−15x2)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 15x4−15x2=15x4−15x2 - Да 15x4−15x2=−15x4+15x2 - Нет значит, функция является чётной