График функции y = 15*x^4-15*x^2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

           4       2
f(x) = 15*x  - 15*x 

$$f{\left (x \right )} = 15 x^{4} - 15 x^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 15*x^4 - 15*x^2.
$$15 \cdot 0^{4} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$60 x^{3} - 30 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

    ___         
 -\/ 2          
(-------, -15/4)
    2           

   ___        
 \/ 2         
(-----, -15/4)
   2          

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(2)/2, 0] U [sqrt(2)/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)/2] U [0, sqrt(2)/2]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$30 \left(6 x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(6)/6] U [sqrt(6)/6, oo)

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(6)/6, sqrt(6)/6]

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(15 x^{4} - 15 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{4} - 15 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 15*x^4 - 15*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(15 x^{4} - 15 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(15 x^{4} - 15 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$15 x^{4} - 15 x^{2} = 15 x^{4} - 15 x^{2}$$
- Да
$$15 x^{4} - 15 x^{2} = - 15 x^{4} - - 15 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной