График функции y = (x^3-5*x)/(6-2*x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      
       x  - 5*x
f(x) = --------
              2
       6 - 2*x 
f(x)=x35x2x2+6f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-2525
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1.73205080756888x_{1} = -1.73205080756888
x2=1.73205080756888x_{2} = 1.73205080756888
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x35x2x2+6=0\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=5x_{2} = - \sqrt{5}
x3=5x_{3} = \sqrt{5}
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2.2360679775x_{2} = 2.2360679775
x3=2.2360679775x_{3} = -2.2360679775
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2).
0300+6\frac{0^{3} - 0}{- 0 + 6}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x(x35x)(2x2+6)2+3x252x2+6=0\frac{4 x \left(x^{3} - 5 x\right)}{\left(- 2 x^{2} + 6\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{- 2 x^{2} + 6} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
xx2+3(4x2(x25)(x2+3)2+3+x25x2+3+6x210x2+3)=0\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=1.73205080756888x_{1} = -1.73205080756888
x2=1.73205080756888x_{2} = 1.73205080756888

limx1.73205080756888(xx2+3(4x2(x25)(x2+3)2+3+x25x2+3+6x210x2+3))=4.746365796004171047\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}
limx1.73205080756888+(xx2+3(4x2(x25)(x2+3)2+3+x25x2+3+6x210x2+3))=4.746365796004171047\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
limx1.73205080756888(xx2+3(4x2(x25)(x2+3)2+3+x25x2+3+6x210x2+3))=4.746365796004171047\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}
limx1.73205080756888+(xx2+3(4x2(x25)(x2+3)2+3+x25x2+3+6x210x2+3))=4.746365796004171047\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1.73205080756888x_{1} = -1.73205080756888
x2=1.73205080756888x_{2} = 1.73205080756888
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x35x2x2+6)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x35x2x2+6)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x35xx(2x2+6))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=x2y = - \frac{x}{2}
limx(x35xx(2x2+6))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=x2y = - \frac{x}{2}
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x35x2x2+6=x3+5x2x2+6\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}
- Нет
x35x2x2+6=x3+5x2x2+6\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной