Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−1.73205080756888 x2=1.73205080756888
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: −2x2+6x3−5x=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=−5 x3=5 Численное решение x1=0 x2=2.2360679775 x3=−2.2360679775
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2). −0+603−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная (−2x2+6)24x(x3−5x)+−2x2+63x2−5=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная −x2+3x((−x2+3)24x2(x2−5)+3+−x2+3x2−5+−x2+36x2−10)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−1.73205080756888 x2=1.73205080756888
x→−1.73205080756888−lim(−x2+3x((−x2+3)24x2(x2−5)+3+−x2+3x2−5+−x2+36x2−10))=4.74636579600417⋅1047 x→−1.73205080756888+lim(−x2+3x((−x2+3)24x2(x2−5)+3+−x2+3x2−5+−x2+36x2−10))=4.74636579600417⋅1047 - пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку x→1.73205080756888−lim(−x2+3x((−x2+3)24x2(x2−5)+3+−x2+3x2−5+−x2+36x2−10))=−4.74636579600417⋅1047 x→1.73205080756888+lim(−x2+3x((−x2+3)24x2(x2−5)+3+−x2+3x2−5+−x2+36x2−10))=−4.74636579600417⋅1047 - пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−1.73205080756888 x2=1.73205080756888
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(−2x2+6x3−5x)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(−2x2+6x3−5x)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(−2x2+6)x3−5x)=−21 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=−2x x→∞lim(x(−2x2+6)x3−5x)=−21 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=−2x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: −2x2+6x3−5x=−2x2+6−x3+5x - Нет −2x2+6x3−5x=−−2x2+6−x3+5x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной