График функции y = (x^3-5*x)/(6-2*x^2)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
3
x - 5*x
f(x) = --------
2
6 - 2*x
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.2360679775$$
$$x_{3} = -2.2360679775$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.2360679775$$
$$x_{3} = -2.2360679775$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2).
$$\frac{0^{3} - 0}{- 0 + 6}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
подставляем x = 0 в (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2).
$$\frac{0^{3} - 0}{- 0 + 6}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4 x \left(x^{3} - 5 x\right)}{\left(- 2 x^{2} + 6\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{- 2 x^{2} + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4 x \left(x^{3} - 5 x\right)}{\left(- 2 x^{2} + 6\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{- 2 x^{2} + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{x}{- x^{2} + 3} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 5\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + 3 + \frac{x^{2} - 5}{- x^{2} + 3} + \frac{6 x^{2} - 10}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -4.74636579600417 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 5*x)/(6 - 2*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(- 2 x^{2} + 6\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{2}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 5 x}{- 2 x^{2} + 6} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{- 2 x^{2} + 6}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной