Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−2 x2=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x2−4x2−1=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 x2=1 Численное решение x1=1 x2=−1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^2 - 1)/(x^2 - 4). −4+02−1+02 Результат: f(0)=41 Точка:
(0, 1/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x2−42x−(x2−4)22x(x2−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/4)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=0 Убывает на промежутках
(-oo, 0]
Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x2−41(−x2−48x2+(x2−4)28x2(x2−1)+2−x2−42x2−2)=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−2 x2=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x2−4x2−1)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=1 x→∞lim(x2−4x2−1)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1)/(x^2 - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x2−4)x2−1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(x2−4)x2−1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x2−4x2−1=x2−4x2−1 - Да x2−4x2−1=−x2−4x2−1 - Нет значит, функция является чётной