График функции y = (x^2-1)/(x^2-4)

        2    
       x  - 1
f(x) = ------
        2    
       x  - 4

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1)/(x^2 - 4).
$$\frac{-1 + 0^{2}}{-4 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{4}$$
Точка:

(0, 1/4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 4} \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 4} + \frac{8 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1)/(x^2 - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной