Точки, в которых функция точно неопределена: x1=1 x2=4
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (x−4)(x−1)x+2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−2 Численное решение x1=−2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)). −4⋅−12 Результат: f(0)=21 Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная (x−4)2(x−1)2(−2x+5)(x+2)+(x−4)(x−1)1=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2+32 x2=−32−2 Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−32−2 Максимумы функции в точках: x2=−2+32 Убывает на промежутках
[-3*sqrt(2) - 2, -2 + 3*sqrt(2)]
Возрастает на промежутках
(-oo, -3*sqrt(2) - 2] U [-2 + 3*sqrt(2), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная (x−4)2(x−1)21(−6x+6+x−12(x+2)(2x−5)+x−42(x+2)(2x−5))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−3⋅232−332−2 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=1 x2=4
x→1−lim((x−4)2(x−1)21(−6x+6+x−12(x+2)(2x−5)+x−42(x+2)(2x−5)))=∞ x→1+lim((x−4)2(x−1)21(−6x+6+x−12(x+2)(2x−5)+x−42(x+2)(2x−5)))=−∞ - пределы не равны, зн. x1=1 - является точкой перегиба x→4−lim((x−4)2(x−1)21(−6x+6+x−12(x+2)(2x−5)+x−42(x+2)(2x−5)))=−∞ x→4+lim((x−4)2(x−1)21(−6x+6+x−12(x+2)(2x−5)+x−42(x+2)(2x−5)))=∞ - пределы не равны, зн. x2=4 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[-3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=1 x2=4
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim((x−4)(x−1)x+2)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim((x−4)(x−1)x+2)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1x−41x−11(x+2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1x−41x−11(x+2))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: (x−4)(x−1)x+2=(−x−4)(−x−1)−x+2 - Нет (x−4)(x−1)x+2=−(−x−4)(−x−1)−x+2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной