График функции y = (x+2)/((x-1)*(x-4))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            x + 2     
f(x) = ---------------
       (x - 1)*(x - 4)
f(x)=x+2(x4)(x1)f{\left (x \right )} = \frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}
График функции
0-100-80-60-40-2020406080100-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+2(x4)(x1)=0\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
Численное решение
x1=2x_{1} = -2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)).
241\frac{2}{-4 \cdot -1}
Результат:
f(0)=12f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}
Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(2x+5)(x+2)(x4)2(x1)2+1(x4)(x1)=0\frac{\left(- 2 x + 5\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2+32x_{1} = -2 + 3 \sqrt{2}
x2=322x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 2
Зн. экстремумы в точках:
                              ___            
          ___             3*\/ 2             
(-2 + 3*\/ 2, -----------------------------)
               /         ___\ /         ___\ 
               \-6 + 3*\/ 2 /*\-3 + 3*\/ 2 / 

                               ___           
          ___             -3*\/ 2            
(-2 - 3*\/ 2, -----------------------------)
               /         ___\ /         ___\ 
               \-6 - 3*\/ 2 /*\-3 - 3*\/ 2 / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=322x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 2
Максимумы функции в точках:
x2=2+32x_{2} = -2 + 3 \sqrt{2}
Убывает на промежутках
[-3*sqrt(2) - 2, -2 + 3*sqrt(2)]

Возрастает на промежутках
(-oo, -3*sqrt(2) - 2] U [-2 + 3*sqrt(2), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x4)2(x1)2(6x+6+2x1(x+2)(2x5)+2x4(x+2)(2x5))=0\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=32233232x_{1} = - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[3]{2} - 2
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4

limx1(1(x4)2(x1)2(6x+6+2x1(x+2)(2x5)+2x4(x+2)(2x5)))=\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = \infty
limx1+(1(x4)2(x1)2(6x+6+2x1(x+2)(2x5)+2x4(x+2)(2x5)))=\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=1x_{1} = 1
- является точкой перегиба
limx4(1(x4)2(x1)2(6x+6+2x1(x+2)(2x5)+2x4(x+2)(2x5)))=\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = -\infty
limx4+(1(x4)2(x1)2(6x+6+2x1(x+2)(2x5)+2x4(x+2)(2x5)))=\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x2=4x_{2} = 4
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+2(x4)(x1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(x+2(x4)(x1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x1x41x1(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \frac{1}{x - 4} \frac{1}{x - 1} \left(x + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x1x41x1(x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \frac{1}{x - 4} \frac{1}{x - 1} \left(x + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+2(x4)(x1)=x+2(x4)(x1)\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = \frac{- x + 2}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}
- Нет
x+2(x4)(x1)=x+2(x4)(x1)\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{- x + 2}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной