График функции y = (x+2)/((x-1)*(x-4))

Вы ввели

            x + 2     
f(x) = ---------------
       (x - 1)*(x - 4)

$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)).
$$\frac{2}{-4 \cdot -1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 5\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:

                              ___            
          ___             3*\/ 2             
(-2 + 3*\/ 2, -----------------------------)
               /         ___\ /         ___\ 
               \-6 + 3*\/ 2 /*\-3 + 3*\/ 2 / 

                               ___           
          ___             -3*\/ 2            
(-2 - 3*\/ 2, -----------------------------)
               /         ___\ /         ___\ 
               \-6 - 3*\/ 2 /*\-3 - 3*\/ 2 / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 + 3 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках

[-3*sqrt(2) - 2, -2 + 3*sqrt(2)]

Возрастает на промежутках

(-oo, -3*sqrt(2) - 2] U [-2 + 3*sqrt(2), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[3]{2} - 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 6 x + 6 + \frac{2}{x - 1} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right) + \frac{2}{x - 4} \left(x + 2\right) \left(2 x - 5\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3*2**(2/3) - 3*2**(1/3) - 2]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/((x - 1)*(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \frac{1}{x - 4} \frac{1}{x - 1} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \frac{1}{x - 4} \frac{1}{x - 1} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = \frac{- x + 2}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{- x + 2}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной