График функции y = x^3/3+x^2-3*x+2018/3

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

        3                  
       x     2         2018
f(x) = -- + x  - 3*x + ----
       3                3  

$$f{\left (x \right )} = - 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{4116585}}{2} + \frac{54783}{2}} - 1 - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{4116585}}{2} + \frac{54783}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -13.9757111238$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + x^2 - 3*x + 2018/3.
$$\frac{0^{3}}{3} + 0^{2} - 0 + \frac{2018}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{2018}{3}$$
Точка:

(0, 2018/3)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 2045/3)

(1, 671)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-3, 1]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1]

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + x^2 - 3*x + 2018/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3} = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3 x + \frac{2018}{3}$$
- Нет
$$- 3 x + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{2018}{3} = - \frac{-1 x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x - \frac{2018}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной