График функции y = sin(4*x)+cos(4*x)

Вы ввели

f(x) = sin(4*x) + cos(4*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{16}$$
Численное решение
$$x_{1} = -9.62112750161874$$
$$x_{2} = -70.0967860832223$$
$$x_{3} = 100.334615374024$$
$$x_{4} = 44.5713457728052$$
$$x_{5} = 96.4076245570368$$
$$x_{6} = -49.6764338348886$$
$$x_{7} = -31.6122760767473$$
$$x_{8} = -22.1874981159779$$
$$x_{9} = 35.9319659754333$$
$$x_{10} = 94.0514300668444$$
$$x_{11} = 6.08683576633022$$
$$x_{12} = -37.8954613839269$$
$$x_{13} = 32.004975158446$$
$$x_{14} = 53.9961237335746$$
$$x_{15} = -56.7450173054656$$
$$x_{16} = -52.0326283250809$$
$$x_{17} = -27.6852852597601$$
$$x_{18} = -74.0237769002095$$
$$x_{19} = 10.0138265833175$$
$$x_{20} = -0.196349540849362$$
$$x_{21} = -48.1056375080937$$
$$x_{22} = -8.05033117482385$$
$$x_{23} = 97.9784208838317$$
$$x_{24} = -26.1144889329652$$
$$x_{25} = 16.2970118904971$$
$$x_{26} = 56.3523182237669$$
$$x_{27} = -59.8866099590554$$
$$x_{28} = 50.0691329165873$$
$$x_{29} = -96.0149254753381$$
$$x_{30} = -55.9596191420682$$
$$x_{31} = 12.3700210735098$$
$$x_{32} = 64.2062998577414$$
$$x_{33} = 75.9872723087031$$
$$x_{34} = -34.7538687303371$$
$$x_{35} = 83.8412539426776$$
$$x_{36} = -93.6587309851457$$
$$x_{37} = -53.6034246518758$$
$$x_{38} = -75.5945732270044$$
$$x_{39} = -45.7494430179014$$
$$x_{40} = 42.2151512826128$$
$$x_{41} = 82.2704576158827$$
$$x_{42} = -85.8047493511712$$
$$x_{43} = -89.7317401681585$$
$$x_{44} = -15.9043128087983$$
$$x_{45} = 34.3611696486384$$
$$x_{46} = 8.44303025652257$$
$$x_{47} = 2.15984494934298$$
$$x_{48} = -23.7582944427728$$
$$x_{49} = 46.1421420996001$$
$$x_{50} = -66.169795266235$$
$$x_{51} = -30.0414797499524$$
$$x_{52} = -13.548118318606$$
$$x_{53} = -71.6675824100172$$
$$x_{54} = 21.7947990342792$$
$$x_{55} = -43.393248527709$$
$$x_{56} = 74.4164759819082$$
$$x_{57} = 79.9142631256904$$
$$x_{58} = 61.8501053675491$$
$$x_{59} = -77.9507677171967$$
$$x_{60} = 17.8678082172919$$
$$x_{61} = -33.9684705669396$$
$$x_{62} = -97.585721802133$$
$$x_{63} = -92.0879346583508$$
$$x_{64} = 304.538137857361$$
$$x_{65} = 78.3434667988955$$
$$x_{66} = -88.1609438413636$$
$$x_{67} = -67.7405915930299$$
$$x_{68} = -81.877758534184$$
$$x_{69} = 38.2881604656256$$
$$x_{70} = -62.2428044492478$$
$$x_{71} = -4.1233403578366$$
$$x_{72} = 28.0779843414588$$
$$x_{73} = 43.0005494460103$$
$$x_{74} = -11.9773219918111$$
$$x_{75} = -99.9419162923253$$
$$x_{76} = -19.8313036257856$$
$$x_{77} = -44.1786466911065$$
$$x_{78} = 30.4341788316511$$
$$x_{79} = 52.4253274067797$$
$$x_{80} = 57.9231145505618$$
$$x_{81} = 20.2240027074843$$
$$x_{82} = 24.1509935244715$$
$$x_{83} = 72.0602814917159$$
$$x_{84} = 60.2793090407542$$
$$x_{85} = -41.8224522009141$$
$$x_{86} = 90.1244392498572$$
$$x_{87} = 13.9408174003047$$
$$x_{88} = 68.1332906747286$$
$$x_{89} = 41.4297531192154$$
$$x_{90} = -1.76714586764426$$
$$x_{91} = -63.8136007760427$$
$$x_{92} = 86.1974484328699$$
$$x_{93} = -5.6941366846315$$
$$x_{94} = 39.8589567924205$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(4*x) + cos(4*x).
$$\sin{\left(4 \cdot 0 \right)} + \cos{\left(4 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{16}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    ___ 
(--, \/ 2 )
 16        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{16}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{16}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{16}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 16 \left(\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{16}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{16}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{16}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(4*x) + cos(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(4 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График