График функции y = 1/6*(x^3)-x^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3     
       x     2
f(x) = -- - x 
       6      
f(x)=x36x2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{6} - x^{2}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-500500
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x36x2=0\frac{x^{3}}{6} - x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/6 - x^2.
03602\frac{0^{3}}{6} - 0^{2}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x222x=0\frac{x^{2}}{2} - 2 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(4, -16/3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=4x_{1} = 4
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][4,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,4]\left[0, 4\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
x2=0x - 2 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,)\left[2, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2]\left(-\infty, 2\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x36x2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x36x2)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/6 - x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x36x2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{6} - x^{2}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x36x2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{6} - x^{2}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x36x2=x36x2\frac{x^{3}}{6} - x^{2} = - \frac{x^{3}}{6} - x^{2}
- Нет
x36x2=x36+x2\frac{x^{3}}{6} - x^{2} = \frac{x^{3}}{6} + x^{2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 1/6*(x^3)-x^2 /media/krcore-image-pods/hash/xy/a/79/073bb0ce76d05dfe8d16ce23ee0b8.png