График функции y = ((x-1)/x)^2
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2
/x - 1\
f(x) = |-----|
\ x /
$$f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.00000052382$$
$$x_{2} = 0.999999619347$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.00000052382$$
$$x_{2} = 0.999999619347$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 1)/x)^2.
$$\left(- \tilde{\infty}\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
подставляем x = 0 в ((x - 1)/x)^2.
$$\left(- \tilde{\infty}\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2}}{x - 1} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2}}{x - 1} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 1]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/2]
Выпуклая на промежутках
[3/2, oo)
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1)/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной