График функции y = ((x-1)/x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              2
       /x - 1\ 
f(x) = |-----| 
       \  x  / 
f(x)=(1x(x1))2f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2}
График функции
02468-8-6-4-210-10050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(1x(x1))2=0\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1.00000052382x_{1} = 1.00000052382
x2=0.999999619347x_{2} = 0.999999619347
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 1)/x)^2.
(~)2\left(- \tilde{\infty}\right)^{2}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1x(x1)2x1(2x1x2(2x2))=0\frac{\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2}}{x - 1} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = 1
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x2(11x(3x3))(11x(x1))=0\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

limx0(2x2(11x(3x3))(11x(x1)))=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty
limx0+(2x2(11x(3x3))(11x(x1)))=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)\right) = \infty
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/2]

Выпуклая на промежутках
[3/2, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(1x(x1))2=1\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(1x(x1))2=1\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1)/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x2x(x1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x2x(x1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(1x(x1))2=1x2(x1)2\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}
- Нет
(1x(x1))2=1x2(x1)2\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x - 1\right)^{2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной