График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x∣x2−4∣=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−2 x2=0 x3=2 Численное решение x1=−2 x2=0 x3=2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x*sqrt(|x^2 - 1*4|). 0∣(−1)4+02∣ Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная ∣x2−4∣x2sign(x2−4)+∣x2−4∣=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1.4142135623731 x2=1.4142135623731 Зн. экстремумы в точках:
(-1.4142135623731, -2)
(1.4142135623731, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−1.4142135623731 Максимумы функции в точках: x1=1.4142135623731 Убывает на промежутках [−1.4142135623731,1.4142135623731] Возрастает на промежутках (−∞,−1.4142135623731]∪[1.4142135623731,∞)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная ∣x2−4∣x(4x2δ(x2−4)−∣x2−4∣x2sign2(x2−4)+3sign(x2−4))=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x∣x2−4∣)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x∣x2−4∣)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(|x^2 - 1*4|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim∣x2−4∣=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim∣x2−4∣=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x∣x2−4∣=−x∣x2−4∣ - Нет x∣x2−4∣=x∣x2−4∣ - Да значит, функция является нечётной