График функции y = x*sqrt((|x^2-4|))

Вы ввели

            __________
           / | 2    | 
f(x) = x*\/  |x  - 4| 

$$f{\left(x \right)} = x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(|x^2 - 4|).
$$0 \sqrt{\left|{-4 + 0^{2}}\right|}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}} + \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
Зн. экстремумы в точках:

(1.4142135623730951, 2)

(-1.4142135623730951, -2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1.4142135623731, 1.4142135623731\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1.4142135623731\right] \cup \left[1.4142135623731, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) - \frac{x^{2} \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\left|{x^{2} - 4}\right|} + 3 \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right)}{\sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(|x^2 - 4|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = - x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$
- Нет
$$x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График