График функции y = x*sqrt((|x^2-4|))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            __________
           / | 2    | 
f(x) = x*\/  |x  - 4| 
f(x)=xx24f{\left(x \right)} = x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xx24=0x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(|x^2 - 1*4|).
0(1)4+020 \sqrt{\left|{\left(-1\right) 4 + 0^{2}}\right|}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x2sign(x24)x24+x24=0\frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}} + \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
x2=1.4142135623731x_{2} = 1.4142135623731
Зн. экстремумы в точках:
(-1.4142135623731, -2)

(1.4142135623731, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
Максимумы функции в точках:
x1=1.4142135623731x_{1} = 1.4142135623731
Убывает на промежутках
[1.4142135623731,1.4142135623731]\left[-1.4142135623731, 1.4142135623731\right]
Возрастает на промежутках
(,1.4142135623731][1.4142135623731,)\left(-\infty, -1.4142135623731\right] \cup \left[1.4142135623731, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
x(4x2δ(x24)x2sign2(x24)x24+3sign(x24))x24=0\frac{x \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) - \frac{x^{2} \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\left|{x^{2} - 4}\right|} + 3 \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right)}{\sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(xx24)=\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(xx24)=\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(|x^2 - 1*4|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limxx24=\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limxx24=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xx24=xx24x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = - x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}
- Нет
xx24=xx24x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = x \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = x*sqrt((|x^2-4|)) /media/krcore-image-pods/hash/xy/a/55/e2f2078ae5132f3ef7abf64f38e4d.png