График функции y = -(1/2)*cos(2*x)+1

Вы ввели

         cos(2*x)    
f(x) = - -------- + 1
            2        

$$f{\left(x \right)} = 1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -cos(2*x)/2 + 1.
$$1 - \frac{\cos{\left(2 \cdot 0 \right)}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1/2)

 pi      
(--, 3/2)
 2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -cos(2*x)/2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Да
$$1 - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График