График функции y = x^5+1/sqrt(x)-cos(x)

Вы ввели

        5     1           
f(x) = x  + ----- - cos(x)
              ___         
            \/ x          

$$f{\left (x \right )} = x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5 + 1/(sqrt(x)) - cos(x).
$$- \cos{\left (0 \right )} + 0^{5} + \frac{1}{\sqrt{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$5 x^{4} + \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.582358862749$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.582358862749, 0.542215996054515)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0.582358862749$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0.582358862749, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0.582358862749]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$20 x^{3} + \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 + 1/(sqrt(x)) - cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )} = - x^{5} - \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
$$x^{5} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \cos{\left (x \right )} = - -1 x^{5} - - \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной