График функции y = (x^2-3*x-9)/(x+3)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

        2          
       x  - 3*x - 9
f(x) = ------------
          x + 3    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.85410196625$$
$$x_{2} = 4.85410196625$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3).
$$\frac{1}{3} \left(-9 + 0^{2} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 3}{x + 3} - \frac{x^{2} - 3 x - 9}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(-6, -15)

(0, -3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках

(-oo, -6] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-6, 0]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 3} \left(2 - \frac{4 x - 6}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(- 2 x^{2} + 6 x + 18\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = -3$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной