График функции y = (x^2-3*x-9)/(x+3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2          
       x  - 3*x - 9
f(x) = ------------
          x + 3    
f(x)=x23x9x+3f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}
График функции
05-10-5101520-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x23x9x+3=0\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=32+352x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}
x2=352+32x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}
Численное решение
x1=1.85410196625x_{1} = -1.85410196625
x2=4.85410196625x_{2} = 4.85410196625
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3).
13(9+020)\frac{1}{3} \left(-9 + 0^{2} - 0\right)
Результат:
f(0)=3f{\left (0 \right )} = -3
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x3x+3x23x9(x+3)2=0\frac{2 x - 3}{x + 3} - \frac{x^{2} - 3 x - 9}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6x_{1} = -6
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(-6, -15)

(0, -3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Максимумы функции в точках:
x2=6x_{2} = -6
Убывает на промежутках
(-oo, -6] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
[-6, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x+3(24x6x+31(x+3)2(2x2+6x+18))=0\frac{1}{x + 3} \left(2 - \frac{4 x - 6}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(- 2 x^{2} + 6 x + 18\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x23x9x+3)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x23x9x+3)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x23x9x(x+3))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(x23x9x(x+3))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x23x9x+3=x2+3x9x+3\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}
- Нет
x23x9x+3=x2+3x9x+3\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной