График функции y = (x^2-3*x-9)/(x+3)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2
x - 3*x - 9
f(x) = ------------
x + 3
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.85410196625$$
$$x_{2} = 4.85410196625$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.85410196625$$
$$x_{2} = 4.85410196625$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3).
$$\frac{1}{3} \left(-9 + 0^{2} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3).
$$\frac{1}{3} \left(-9 + 0^{2} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 3}{x + 3} - \frac{x^{2} - 3 x - 9}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 3}{x + 3} - \frac{x^{2} - 3 x - 9}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(-6, -15)
(0, -3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках
(-oo, -6] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
[-6, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 3} \left(2 - \frac{4 x - 6}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(- 2 x^{2} + 6 x + 18\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 3} \left(2 - \frac{4 x - 6}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(- 2 x^{2} + 6 x + 18\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x - 9)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x - 9}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 3 x - 9}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной