Интеграл asin(x)-x (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  (asin(x) - x) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} - x + \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = - x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

   Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                       3   pi
 |  (asin(x) - x) dx = - - + --
 |                       2   2 
/                              
0                              

$${{\pi-3}\over{2}}$$

Численный ответ

0.0707963267948966