Интеграл asin(x^2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      / 2\   
 |  asin\x / dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{4 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                  _                
                 |_  /1/2, 3/4 |  \
     Gamma(3/4)* |   |         | 1|
pi              2  1 \  7/4    |  /
-- - ------------------------------
2             2*Gamma(7/4)         

$$- \frac{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {1} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)} + \frac{\pi}{2}$$

=

=

                  _                
                 |_  /1/2, 3/4 |  \
     Gamma(3/4)* |   |         | 1|
pi              2  1 \  7/4    |  /
-- - ------------------------------
2             2*Gamma(7/4)         

$$- \frac{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {1} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)} + \frac{\pi}{2}$$

Численный ответ

0.372656092059304

Ответ (Неопределённый)

                                                  _                         
  /                                3             |_  /1/2, 3/4 |  4  2*pi*I\
 |                                x *Gamma(3/4)* |   |         | x *e      |
 |     / 2\                / 2\                 2  1 \  7/4    |           /
 | asin\x / dx = C + x*asin\x / - ------------------------------------------
 |                                               2*Gamma(7/4)               
/                                                                           

$$\int \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}\, dx = C - \frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}$$

График