Интеграл dx/sqrt(3*x-1) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |         1        
 |  1*----------- dx
 |      _________   
 |    \/ 3*x - 1    
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{3 x - 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x - 1}}$ и подставим $\frac{2 du}{3}$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = \frac{2}{3} \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt{3 x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}$

   2. пусть $u = 3 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{u}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

            ___
  2*I   2*\/ 2 
- --- + -------
   3       3   

$$\frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2 i}{3}$$

=

=

            ___
  2*I   2*\/ 2 
- --- + -------
   3       3   

$$\frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2 i}{3}$$

Численный ответ

(1.51280204310656 - 0.578362416744166j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                            __________
 |        1               2*\/ -1 + 3*x 
 | 1*----------- dx = C + --------------
 |     _________                3       
 |   \/ 3*x - 1                         
 |                                      
/                                       

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{3 x - 1}}{3}$$

График