Интеграл dx/(x^2+a^2) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       1      
 |  1*------- dx
 |     2    2   
 |    x  + a    
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Thесть integral must be done piecewестьe.

   For the interval where $a^{2} > 0$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx = \frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$

      1. пусть $u = x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}$.

         Тогда пусть $du = \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} dx$ и подставим $du \sqrt{a^{2}}$:

         $\int \frac{\sqrt{a^{2}}}{u^{2} + 1}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{a^{2}}}{u^{2} + 1}\, dx = \sqrt{a^{2}} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{a^{2}} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{a^{2}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{a^{2}}}{a^{2}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{\sqrt{a^{2}}}{a^{2}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )} & \text{for}\: a^{2} > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{\sqrt{a^{2}}}{a^{2}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )} & \text{for}\: a^{2} > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

I*log(1 + I*a)   I*log(1 - I*a)   I*log(I*a)   I*log(-I*a)
-------------- - --------------   ---------- - -----------
      2                2              2             2     
------------------------------- - ------------------------
               a                             a            

$$- \frac{- \frac{i \log{\left(- i a \right)}}{2} + \frac{i \log{\left(i a \right)}}{2}}{a} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + 1 \right)}}{2} + \frac{i \log{\left(i a + 1 \right)}}{2}}{a}$$

=

=

I*log(1 + I*a)   I*log(1 - I*a)   I*log(I*a)   I*log(-I*a)
-------------- - --------------   ---------- - -----------
      2                2              2             2     
------------------------------- - ------------------------
               a                             a            

$$- \frac{- \frac{i \log{\left(- i a \right)}}{2} + \frac{i \log{\left(i a \right)}}{2}}{a} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + 1 \right)}}{2} + \frac{i \log{\left(i a + 1 \right)}}{2}}{a}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                   I*log(x + I*a)   I*log(x - I*a)
 |                    -------------- - --------------
 |      1                   2                2       
 | 1*------- dx = C + -------------------------------
 |    2    2                         a               
 |   x  + a                                          
 |                                                   
/                                                    

$$\int 1 \cdot \frac{1}{a^{2} + x^{2}}\, dx = C + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{2} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{2}}{a}$$