Интеграл 2/(3*x+1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  ------- dx
 |  3*x + 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{3 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2}{3 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{3 x + 1}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 3 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{3 x + 1} = \frac{1}{3 x + 1}$

      2. пусть $u = 3 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |     2         2*log(4)
 |  ------- dx = --------
 |  3*x + 1         3    
 |                       
/                        
0                        

$${{2\,\log 4}\over{3}}$$

Численный ответ

0.924196240746594

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    2             2*log(3*x + 1)
 | ------- dx = C + --------------
 | 3*x + 1                3       
 |                                
/                                 

$${{2\,\log \left(3\,x+1\right)}\over{3}}$$