Интеграл (2-x)^3/8 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |         3   
     |  (2 - x)    
     |  -------- dx
     |     8       
     |             
    /              
    0              
    01(2x)38dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{8}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      (2x)38dx=(2x)3dx8\int \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{8}\, dx = \frac{\int \left(2 - x\right)^{3}\, dx}{8}

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=2xu = 2 - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          u3du\int u^{3}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (u3)du=u3du\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Таким образом, результат будет: u44- \frac{u^{4}}{4}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          (2x)44- \frac{\left(2 - x\right)^{4}}{4}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (2x)3=x3+6x212x+8\left(2 - x\right)^{3} = - x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (x3)dx=x3dx\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

            Таким образом, результат будет: x44- \frac{x^{4}}{4}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            6x2dx=6x2dx\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Таким образом, результат будет: 2x32 x^{3}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (12x)dx=12xdx\int \left(- 12 x\right)\, dx = - 12 \int x\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: 6x2- 6 x^{2}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            8dx=8x\int 8\, dx = 8 x

          Результат есть: x44+2x36x2+8x- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x

      Таким образом, результат будет: (2x)432- \frac{\left(2 - x\right)^{4}}{32}

    2. Теперь упростить:

      (x2)432- \frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      (x2)432+constant- \frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (x2)432+constant- \frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
    Ответ [src]
    15
    --
    32
    1532\frac{15}{32}
    =
    =
    15
    --
    32
    1532\frac{15}{32}
    Численный ответ [src]
    0.46875
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                           
     |        3                 4
     | (2 - x)           (2 - x) 
     | -------- dx = C - --------
     |    8                 32   
     |                           
    /                            
    (2x)38dx=C(2x)432\int \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{8}\, dx = C - \frac{\left(2 - x\right)^{4}}{32}
    График
    Интеграл (2-x)^3/8 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/7/d5/dfa6df416f064cce0c47d021938ab.png