Интеграл (2*x-1)^8 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           8   
     |  (2*x - 1)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(2x1)8dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 1\right)^{8}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x1u = 2 x - 1.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        u84du\int \frac{u^{8}}{4}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u82du=u8du2\int \frac{u^{8}}{2}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{2}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: u918\frac{u^{9}}{18}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (2x1)918\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x1)8=256x81024x7+1792x61792x5+1120x4448x3+112x216x+1\left(2 x - 1\right)^{8} = 256 x^{8} - 1024 x^{7} + 1792 x^{6} - 1792 x^{5} + 1120 x^{4} - 448 x^{3} + 112 x^{2} - 16 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          256x8dx=256x8dx\int 256 x^{8}\, dx = 256 \int x^{8}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x8dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: 256x99\frac{256 x^{9}}{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (1024x7)dx=1024x7dx\int \left(- 1024 x^{7}\right)\, dx = - 1024 \int x^{7}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x7dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: 128x8- 128 x^{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1792x6dx=1792x6dx\int 1792 x^{6}\, dx = 1792 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x6dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 256x7256 x^{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (1792x5)dx=1792x5dx\int \left(- 1792 x^{5}\right)\, dx = - 1792 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 896x63- \frac{896 x^{6}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1120x4dx=1120x4dx\int 1120 x^{4}\, dx = 1120 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 224x5224 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (448x3)dx=448x3dx\int \left(- 448 x^{3}\right)\, dx = - 448 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 112x4- 112 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          112x2dx=112x2dx\int 112 x^{2}\, dx = 112 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 112x33\frac{112 x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (16x)dx=16xdx\int \left(- 16 x\right)\, dx = - 16 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 8x2- 8 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 256x99128x8+256x7896x63+224x5112x4+112x338x2+x\frac{256 x^{9}}{9} - 128 x^{8} + 256 x^{7} - \frac{896 x^{6}}{3} + 224 x^{5} - 112 x^{4} + \frac{112 x^{3}}{3} - 8 x^{2} + x

    2. Теперь упростить:

      (2x1)918\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      (2x1)918+constant\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (2x1)918+constant\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
    Ответ [src]
    1/9
    19\frac{1}{9}
    =
    =
    1/9
    19\frac{1}{9}
    Численный ответ [src]
    0.111111111111111
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              9
     |          8          (2*x - 1) 
     | (2*x - 1)  dx = C + ----------
     |                         18    
    /                                
    (2x1)8dx=C+(2x1)918\int \left(2 x - 1\right)^{8}\, dx = C + \frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}
    График
    Интеграл (2*x-1)^8 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/f0/b35a8869c148604d14bc53c88d7fa.png