Интеграл e^(4*x-3) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   4*x - 3   
 |  e        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} e^{4 x - 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 x - 3} = \frac{e^{4 x}}{e^{3}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{4 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{e^{3}}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{4 x}$.

            Тогда пусть $du = 4 e^{4 x} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{4 x}}{4 e^{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 x - 3} = \frac{e^{4 x}}{e^{3}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{4 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{e^{3}}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{4 x}}{4 e^{3}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{4 x - 3}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{4 x - 3}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{4 x - 3}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   -3    
  e     e
- --- + -
   4    4

$$- \frac{1}{4 e^{3}} + \frac{e}{4}$$

=

=

   -3    
  e     e
- --- + -
   4    4

$$- \frac{1}{4 e^{3}} + \frac{e}{4}$$

Численный ответ

0.667123690022795

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    -3  4*x
 |  4*x - 3          e  *e   
 | e        dx = C + --------
 |                      4    
/                            

$$\int e^{4 x - 3}\, dx = C + \frac{e^{4 x}}{4 e^{3}}$$

График