Интеграл e^(7*x-2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   7*x - 2   
 |  e        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} e^{7 x - 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{7 x - 2} = \frac{e^{7 x}}{e^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{7 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{\int e^{7 x}\, dx}{e^{2}}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 7 x$.

            Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{e^{u}}{49}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{7}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{7}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{7 x}}{7}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{7 x}$.

            Тогда пусть $du = 7 e^{7 x} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{1}{49}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{7}\, du = \frac{\int 1\, du}{7}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{7 x}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{7 x}}{7 e^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{7 x - 2} = \frac{e^{7 x}}{e^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{7 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{\int e^{7 x}\, dx}{e^{2}}$

      1. пусть $u = 7 x$.

         Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{e^{u}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{7}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{7}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{7 x}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{7 x}}{7 e^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{7 x - 2}}{7}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{7 x - 2}}{7}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{7 x - 2}}{7}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   -2    5
  e     e 
- --- + --
   7    7 

$$- \frac{1}{7 e^{2}} + \frac{e^{5}}{7}$$

=

=

   -2    5
  e     e 
- --- + --
   7    7 

$$- \frac{1}{7 e^{2}} + \frac{e^{5}}{7}$$

Численный ответ

21.1825462599057

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    -2  7*x
 |  7*x - 2          e  *e   
 | e        dx = C + --------
 |                      7    
/                            

$$\int e^{7 x - 2}\, dx = C + \frac{e^{7 x}}{7 e^{2}}$$

График