Интеграл e^(t)*sin(t) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   t          
 |  e *sin(t) dt
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $e^{t} \sin{\left(t \right)}$:

      пусть $u{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

      Затем $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - \int e^{t} \cos{\left(t \right)}\, dt$.

   2. Для подинтегрального выражения $e^{t} \cos{\left(t \right)}$:

      пусть $u{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

      Затем $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - e^{t} \cos{\left(t \right)} + \int \left(- e^{t} \sin{\left(t \right)}\right)\, dt$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $2 \int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - e^{t} \cos{\left(t \right)}$

      Поэтому,

      $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = \frac{e^{t} \sin{\left(t \right)}}{2} - \frac{e^{t} \cos{\left(t \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

=

=

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.909330673631479

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                     t                  t
 |  t                 e *sin(t)   cos(t)*e 
 | e *sin(t) dt = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/                                          

$$\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{e^{t} \sin{\left(t \right)}}{2} - \frac{e^{t} \cos{\left(t \right)}}{2}$$

График