Интеграл log(x-2) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  log(x - 2) dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x - 2 \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - 2$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)} + 2$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 2 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 2}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Результат есть: $x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)} + 2$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1 + 2*log(2) + pi*I

$$-1 + 2 \log{\left(2 \right)} + i \pi$$

=

=

-1 + 2*log(2) + pi*I

$$-1 + 2 \log{\left(2 \right)} + i \pi$$

Численный ответ

(0.386294361119891 + 3.14159265358979j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 | log(x - 2) dx = 2 + C - x + (x - 2)*log(x - 2)
 |                                               
/                                                

$$\int \log{\left(x - 2 \right)}\, dx = C - x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)} + 2$$

График