Интеграл -log(cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  -log(cos(x)) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx = - \int \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx = - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

      Таким образом, результат будет: $- \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

   Таким образом, результат будет: $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$

2. Теперь упростить:

   $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      1               
  /                      /               
 |                      |                
 |  -log(cos(x)) dx = - |  log(cos(x)) dx
 |                      |                
/                      /                 
0                      0                 

$${{2\,i\,\arctan \left({{\sin 2}\over{\cos 2+1}}\right)+\log \left(2 \,\cos 2+2\right)-i\,{\it li}_{2}(-e^{2\,i})-i}\over{2}}-\log \cos 1 -{{i\,\pi^2}\over{24}}$$

Численный ответ

0.187538169020838

Ответ (Неопределённый)

                           /                           
  /                       |                            
 |                        | x*sin(x)                   
 | -log(cos(x)) dx = C -  | -------- dx - x*log(cos(x))
 |                        |  cos(x)                    
/                         |                            
                         /                             

$${{x\,\log \left(\sin ^2\left(2\,x\right)+\cos ^2\left(2\,x\right)+2 \,\cos \left(2\,x\right)+1\right)+2\,i\,x\,{\rm atan2}\left(\sin \left(2\,x\right) , \cos \left(2\,x\right)+1\right)-i\,{\it li}_{2}( -e^{2\,i\,x})-i\,x^2}\over{2}}-x\,\log \cos x$$