Интеграл -1/sin(x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   -1      
 |  ------ dx
 |  sin(x)   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} - \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ dx
 | sin(x)   
 |          
/           

Подинтегральная функция

 -1   
------
sin(x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(x)

получим

 -1      -sin(x) 
------ = --------
sin(x)      2    
         sin (x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)

преобразуем знаменатель

-sin(x)      -sin(x)  
-------- = -----------
   2              2   
sin (x)    1 - cos (x)

сделаем замену

u = cos(x)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |   -sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |   -sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = -dx*sin(x)

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

           1       1  
         ----- + -----
  1      1 - u   1 + u
------ = -------------
     2         2      
1 - u                 

тогда

                 /             /          
                |             |           
                |   1         |   1       
                | ----- du    | ----- du  
  /             | 1 + u       | 1 - u     
 |              |             |           
 |   1         /             /           =
 | ------ du = ----------- + -----------  
 |      2           2             2       
 | 1 - u                                  
 |                                        
/                                         
  

= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2

делаем обратную замену

u = cos(x)

Ответ

  /                                                   
 |                                                    
 |  -1         log(1 + cos(x))   log(-1 + cos(x))     
 | ------ dx = --------------- - ---------------- + C0
 | sin(x)             2                 2             
 |                                                    
/                                                     

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |   -1               pi*I
 |  ------ dx = -oo - ----
 |  sin(x)             2  
 |                        
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-44.1790108686112

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |  -1             log(1 + cos(x))   log(-1 + cos(x))
 | ------ dx = C + --------------- - ----------------
 | sin(x)                 2                 2        
 |                                                   
/                                                    

$${{\log \left(\cos x+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos x-1\right) }\over{2}}$$