Производная -1/sin(x)

Вы ввели

 -1   
------
sin(x)

$$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 cos(x)
-------
   2   
sin (x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /         2   \ 
 |    2*cos (x)| 
-|1 + ---------| 
 |        2    | 
 \     sin (x) / 
-----------------
      sin(x)     

$$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

/         2   \       
|    6*cos (x)|       
|5 + ---------|*cos(x)
|        2    |       
\     sin (x) /       
----------------------
          2           
       sin (x)        

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$